搜搜做题作业网an=4n^2-1 问数列中 是否存在三项使得ak am ap为等比数列
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/07 17:46:05
an=4n^2-1 问数列中 是否存在三项使得ak am ap为等比数列
其中k、m、p是正整数且k
其中k、m、p是正整数且k
这道题无解
反证法
假设有解
4n^2-1=(2n)^2-1=一个偶数的平方－1
所以转化为
三个不同偶数a,b,c
a^2-1,b^2-1,c^2-1是等比数列?
如果成立,那么等价于
(a^2-1)(c^2-1)=(b^2-1)(b^2-1)
(b^2-1)^2
=(a-1)(a+1)(c-1)(c+1)
=[(a-1)(c-1)][(a+1)(c+1)]
=[ac+1-(a+c)][ac+1+(a+c)]
=[ac+1]^2-(a+c)^2
也就是
(b^2-1)^2+(a+c)^2=(ac+1)^2
因为a,b,c是偶数,所以当然a+c,ac+1,b^2-1都是整数
所以b^2-1,a+c,ac+1是勾股数,
任何勾股数可以由下面的表达式表达
(2rs)^2+(r^2-s^2)^2=(r^2+s^2)^2
由于a,b,c都是偶数,所以a+c只能是2rs.
a+c=2rs
b^2-1=r^2-s^2
ac+1=r^2+s^2
ac+1=r^2+s^2
4|ac
所以r,s一奇一偶
b^2-1=r^2-s^2
4|b^2
所以r偶,s奇
a+c=2rs
ac=r^2+s^2-1
(a-c)^2=[(2rs)^2-4(r^2+s^2-1)]=4(r^2-1)(s^2-1)=4(r-1)(s-1)(r+1)(s+1)
不妨设a=2A,b=2B,c=2C
(A-C)^2=(r-1)(s-1)(r+1)(s+1)=(rs+1)^2-(r+s)^2
(r+s)^2+(A-C)^2=(rs+1)^2
所以还有勾股数表达上面的算式中的量.
r偶,s奇
r+s奇
所以A-C偶
r+s=x^2-y^2
A-C=2xy
rs+1=x^2+y^2
(r-s)^2
=(x^2-y^2)^2-4(x^2+y^2-1)
=(x^2+y^2)^2-4(x^2+y^2)+4-(2xy)^2
=(x^2+y^2-2)^2-(2xy)^2
(r-s)^2+(2xy)^2=(x^2+y^2-2)^2
r-s也是奇数
所以
2xy=2uv
r-s=u^2-v^2
x^2+y^2-2=u^2+v^2
xy=uv
r-s=u^2-v^2
x^2+y^2-2=u^2+v^2
2xy+x^2+y^2-2=u^2+v^2+2uv
(x+y)^2-2=(u+v)^2
所以两个非负整数(x+y)与(u+v),其平方差2,这是不可能的,所以原方程无解.
反证法
假设有解
4n^2-1=(2n)^2-1=一个偶数的平方－1
所以转化为
三个不同偶数a,b,c
a^2-1,b^2-1,c^2-1是等比数列?
如果成立,那么等价于
(a^2-1)(c^2-1)=(b^2-1)(b^2-1)
(b^2-1)^2
=(a-1)(a+1)(c-1)(c+1)
=[(a-1)(c-1)][(a+1)(c+1)]
=[ac+1-(a+c)][ac+1+(a+c)]
=[ac+1]^2-(a+c)^2
也就是
(b^2-1)^2+(a+c)^2=(ac+1)^2
因为a,b,c是偶数,所以当然a+c,ac+1,b^2-1都是整数
所以b^2-1,a+c,ac+1是勾股数,
任何勾股数可以由下面的表达式表达
(2rs)^2+(r^2-s^2)^2=(r^2+s^2)^2
由于a,b,c都是偶数,所以a+c只能是2rs.
a+c=2rs
b^2-1=r^2-s^2
ac+1=r^2+s^2
ac+1=r^2+s^2
4|ac
所以r,s一奇一偶
b^2-1=r^2-s^2
4|b^2
所以r偶,s奇
a+c=2rs
ac=r^2+s^2-1
(a-c)^2=[(2rs)^2-4(r^2+s^2-1)]=4(r^2-1)(s^2-1)=4(r-1)(s-1)(r+1)(s+1)
不妨设a=2A,b=2B,c=2C
(A-C)^2=(r-1)(s-1)(r+1)(s+1)=(rs+1)^2-(r+s)^2
(r+s)^2+(A-C)^2=(rs+1)^2
所以还有勾股数表达上面的算式中的量.
r偶,s奇
r+s奇
所以A-C偶
r+s=x^2-y^2
A-C=2xy
rs+1=x^2+y^2
(r-s)^2
=(x^2-y^2)^2-4(x^2+y^2-1)
=(x^2+y^2)^2-4(x^2+y^2)+4-(2xy)^2
=(x^2+y^2-2)^2-(2xy)^2
(r-s)^2+(2xy)^2=(x^2+y^2-2)^2
r-s也是奇数
所以
2xy=2uv
r-s=u^2-v^2
x^2+y^2-2=u^2+v^2
xy=uv
r-s=u^2-v^2
x^2+y^2-2=u^2+v^2
2xy+x^2+y^2-2=u^2+v^2+2uv
(x+y)^2-2=(u+v)^2
所以两个非负整数(x+y)与(u+v),其平方差2,这是不可能的,所以原方程无解.
已知数列前n项和为Sn,且满足Sn=2an-3n(n属于正整数） 1求数列an的通项公式 2数列an中是否存在连续的三项
递推数列证明数列｛an｝中an=3^n-(-2)^n (1)求证;当K为奇数时,(1/ak)+(1/ak+1)
若数列an的前n项和Sn=2an+1问数列an是否成等比数列 并求出an 可以不
已知正项等比数列{an}满足a6=a7-2a5,若存在两项am,an使得根号下am*an=2a2,则1/m+4/n的最小
设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=Sn/n+2(n-1) （1）求an的通项公式(2)是否存在正整数n,使得S
在等比数列｛an｝中,an=2乘三的（n-1）次方,则数列中前n个偶数项的和为多少
An中a1=5 an=2An-1 n大于等于2 n属于N+ 问是否存在实数λ,使数列{
数列an的通项公式an=(n+1)*0.9^n是否存在着项的自然数N,使得对于任意自然数n都有an
在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=4an-3n+1(n为正整数）,证明数列{an-n}是等比数列
已知数列{an}的通项公式为an=|n-13|，那么满足ak+ak+1+…+ak+19=102的正整数k=______．
已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+a5,若存在两项am>an使得根号下am*an=4a1,则1/m+4/n的最小
an是等比数列,公比是2,若存在两项am.an,使得根号am*an=4a1,求m+n的值.想问问怎么来的,我算来算去都是