都是解答题,清给出一些步鄹.当然,
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/15 04:31:44
都是解答题,清给出一些步鄹.当然,
1.已知O〔0,0〕B〔1,0〕C〔b,c〕是△ABC的三个顶点,写出△OBC的重心G,垂心H,外心F的坐标,并证明这三点共线.
2.已知正方形ABCD,BE‖AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于F,用向量证明 AF=AE.
1.已知O〔0,0〕B〔1,0〕C〔b,c〕是△ABC的三个顶点,写出△OBC的重心G,垂心H,外心F的坐标,并证明这三点共线.
2.已知正方形ABCD,BE‖AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于F,用向量证明 AF=AE.
1、C点坐标为(b,c),OB中点D(1/2,0),
G在BC的1/3处,
G(x)=1/2+(b-1/2)/3=(b+1)/3,G(y)=c/3
重心坐标为G((b+1)/3,c/3),
A(O)B边上的高垂直X轴,故直线方程为:x=b,
A(O)C直线斜率=c/b,AC边上高的斜率=-b/c,AC边上的高方程为:y/(x-1)=-b/c,
二直线交点H为垂心,H(b,(b-b^2)/c),
O(A)B的垂直平分线为x=1/2,
O(A)C的垂直平分线(y-c/2)/(x-b/2)=-b/c,
外心坐标F(1/2,(b^2-b+c^2)/(2c)),
FG直线斜率k1=[(b^2-b+c^2)/(2c)-c/3]/(1/2-(b+1)/3)
=(3b^2+c^2-3b)/(c-2bc),
GH直线斜率k2=[(b-b^2)/c-c/3)/[ b-(b+1)/3]
=(3b-3b^2-c^2)/(2bc-c)=(3b^2+c^2-3b)/(c-2bc),
∴ k1=k2,
故G、H、F三点共线.
2、设正方形ABCD各顶点坐标为:A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
E(m,n),向量BE=(m-1,n),BE‖AC,向量AC=(1,1),(m-1)/1=n,/1,n=m-1
|CE|=|AC|=√2,(m-1)^2+(m-2)^2=2,m=(3+√3)/2,n=(1+√3)/2,(在第一象限,负值舍去),
E((3+√3)/2,(1+√3)/2),|AE|=√3+1.
向量EC=((1+√3)/2,(√3-1)/2),E、C、F三点共线,
EC与BA交点坐标为(-(√3+1),0),
|AF|=0-[-(√3+1)= (√3+1),
∴|AE|=|AF|.
G在BC的1/3处,
G(x)=1/2+(b-1/2)/3=(b+1)/3,G(y)=c/3
重心坐标为G((b+1)/3,c/3),
A(O)B边上的高垂直X轴,故直线方程为:x=b,
A(O)C直线斜率=c/b,AC边上高的斜率=-b/c,AC边上的高方程为:y/(x-1)=-b/c,
二直线交点H为垂心,H(b,(b-b^2)/c),
O(A)B的垂直平分线为x=1/2,
O(A)C的垂直平分线(y-c/2)/(x-b/2)=-b/c,
外心坐标F(1/2,(b^2-b+c^2)/(2c)),
FG直线斜率k1=[(b^2-b+c^2)/(2c)-c/3]/(1/2-(b+1)/3)
=(3b^2+c^2-3b)/(c-2bc),
GH直线斜率k2=[(b-b^2)/c-c/3)/[ b-(b+1)/3]
=(3b-3b^2-c^2)/(2bc-c)=(3b^2+c^2-3b)/(c-2bc),
∴ k1=k2,
故G、H、F三点共线.
2、设正方形ABCD各顶点坐标为:A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
E(m,n),向量BE=(m-1,n),BE‖AC,向量AC=(1,1),(m-1)/1=n,/1,n=m-1
|CE|=|AC|=√2,(m-1)^2+(m-2)^2=2,m=(3+√3)/2,n=(1+√3)/2,(在第一象限,负值舍去),
E((3+√3)/2,(1+√3)/2),|AE|=√3+1.
向量EC=((1+√3)/2,(√3-1)/2),E、C、F三点共线,
EC与BA交点坐标为(-(√3+1),0),
|AF|=0-[-(√3+1)= (√3+1),
∴|AE|=|AF|.