如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=½PA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/26 20:24:38
如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=½PA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC
(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点,
∴OD∥PA
又PA平面PAB,
∴OD∥平面PAB
(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC
∴OA=OB=OC
又∴OP⊥平面ABC,
∴PA=PB=PC.
取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE.
作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC.∠ODF是OD与平面PBC所成的角.
又OD∥PA,
∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.
在Rt△ODF中,
sin∠ODF=.
∴PA与平面PBC所成的角为arcsin.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF⊥平面PBC,
∴F是O在平面PBC内的射影.
∵D是PC的中点
若点F是△PBC的重心.
则B、F、D三点共线,
∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD.
∵OB⊥PC,
∴PC⊥BD,
∴PB=BC,即k=1
反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,
∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心
方法二:
∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,
∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.
以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图),
设AB=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0).
设OP=h,则P(0,0,h).
(Ⅰ)∵D为PC的中点,
∴=(-,0,)
又,
∴
∴∥.
∴OD∥平面PAB
(Ⅱ)∵k=,即PA=2a
∴h=,
∴=(),
可求得平面PBC的法向量=(1,-1,-),
∴cos==
设PA与平面PBC所成的角为θ
则sinθ=|cos|=,
∴PA与平面PBC所成的角为arcsin
(Ⅲ)△PBC的重心G(-a,a,h),
∴=(-a,a,h)
∵OG⊥平面PBC,
∴⊥
又=(0,a,-h)
∴·=a2-h2=0
∴h=a.
∴PA==a,即k=1.
反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,
∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.
∴OD∥PA
又PA平面PAB,
∴OD∥平面PAB
(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC
∴OA=OB=OC
又∴OP⊥平面ABC,
∴PA=PB=PC.
取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE.
作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC.∠ODF是OD与平面PBC所成的角.
又OD∥PA,
∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.
在Rt△ODF中,
sin∠ODF=.
∴PA与平面PBC所成的角为arcsin.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF⊥平面PBC,
∴F是O在平面PBC内的射影.
∵D是PC的中点
若点F是△PBC的重心.
则B、F、D三点共线,
∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD.
∵OB⊥PC,
∴PC⊥BD,
∴PB=BC,即k=1
反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,
∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心
方法二:
∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,
∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.
以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图),
设AB=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0).
设OP=h,则P(0,0,h).
(Ⅰ)∵D为PC的中点,
∴=(-,0,)
又,
∴
∴∥.
∴OD∥平面PAB
(Ⅱ)∵k=,即PA=2a
∴h=,
∴=(),
可求得平面PBC的法向量=(1,-1,-),
∴cos==
设PA与平面PBC所成的角为θ
则sinθ=|cos|=,
∴PA与平面PBC所成的角为arcsin
(Ⅲ)△PBC的重心G(-a,a,h),
∴=(-a,a,h)
∵OG⊥平面PBC,
∴⊥
又=(0,a,-h)
∴·=a2-h2=0
∴h=a.
∴PA==a,即k=1.
反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,
∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.
如图,在三棱锥P-ABC中,AB垂直于BC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP垂直于底面ABC
如图,在三棱锥P-ABC中,侧棱PA⊥底面ABC,AB⊥BC,E、F分别是棱BC、PC的中点.
如图,在三棱锥P-ABC,PC垂直底面ABC,AB垂直BC,D、E分别是AB、PB的中点.PC=AC 求证:DE//平面
如图在三棱锥P-ABC中PA⊥平面ABC∠BAC=90°D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1PA=2
如图,在四面体P-ABC中,PA垂直平面ABC,AC垂直AB,且D、E、F、G分别为BC、PC、AB、PA的中点
三棱锥P-ABC中,侧面PAC⊥底面ABC,PA=BC=1,PC=AB=2,∠APC=60°,D为AC中点.
如图,在三棱锥P-ABC中,棱PB⊥AC,E,F,G,H分别是PA,AB,BC,CP的中点.
已知如图,三棱锥P-ABC中,PA垂直于底面ABC,AC垂直于BC,M,N分别是AB和PB的中点.
如图,在三棱锥P-ABC中,E,F,G,H分别是AB,AC,PC,BC的中点,且PA=PB,AC=BC,求证:(1)AB
如图,在四面体P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=3,AC=4,BC=5,且D,E,F分别为BC,PC,AB的中点.
(2011•浙江)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段A
如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.