已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在x=0,x=4处取得极值.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/15 07:55:20
已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在x=0,x=4处取得极值.
(1)求常数k的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值;
(3)设g(x)=f(x)+c,且∀x∈[-1,2],g(x)≥2c+1恒成立,求c的取值范围.
(1)求常数k的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值;
(3)设g(x)=f(x)+c,且∀x∈[-1,2],g(x)≥2c+1恒成立,求c的取值范围.
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(1)f'(x)=3kx2+6(k-1)x,由于在x=0,x=4处取得极值,
∴f'(0)=0,f'(4)=0,
可求得k=
1
3…(2分)
(2)由(1)可知f(x)=
1
3x3−2x2+
8
9,f'(x)=x2-4x=x(x-4),f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,4) 4 (4,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值
8
9 极小值−
88
9 ∴当x<0或x>4,f(x)为增函数,0≤x≤4,f(x)为减函数; …(4分)
∴极大值为f(0)=
8
9,极小值为f(4)=−
88
9…(5分)
(3)要使命题成立,需使g(x)的最小值不小于2c+1
由(2)得:g(−1)=f(−1)+c=−
13
9+cg(2)=f(2)+c=−
40
9+c…(6分)
∴g(x)min=−
40
9+c≥2c+1,
∴c≤−
49
9…(8分)
∴f'(0)=0,f'(4)=0,
可求得k=
1
3…(2分)
(2)由(1)可知f(x)=
1
3x3−2x2+
8
9,f'(x)=x2-4x=x(x-4),f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,4) 4 (4,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值
8
9 极小值−
88
9 ∴当x<0或x>4,f(x)为增函数,0≤x≤4,f(x)为减函数; …(4分)
∴极大值为f(0)=
8
9,极小值为f(4)=−
88
9…(5分)
(3)要使命题成立,需使g(x)的最小值不小于2c+1
由(2)得:g(−1)=f(−1)+c=−
13
9+cg(2)=f(2)+c=−
40
9+c…(6分)
∴g(x)min=−
40
9+c≥2c+1,
∴c≤−
49
9…(8分)
已知函数f(x)=kx3-3x2+1(k≥0).
已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0),若f(x)的单调减区间为(0,4),求k的值.
已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)的单调递减区间是(0,4),则k的值是 ___ .
设函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在区间(0,4)上是减函数,则k的取值范围是______.
已知函数f(x)=kx3-4x2-8在区间[2,8]上是单调函数,求实数k的取值范围.
已知函数f(x)=(lnx+k)/e^x在点x=1处取得极值
已知函数f(x)=x-ln(x+a)在x=1处取得极值.
已知函数f(x)=ln(x+a)-x^2-x在x=0处取得极值
已知函数f(x)=ln(x+a)-x∧2-x在x=0处取得极值,
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+2在x=1处取得极值-1.
已知函数f(x)=12x4+bx3+cx2+dx+e(x∈R)在x=0和x=1处取得极值.
已知函数f(x)=ln(x+m),g(x)=e^x-1,F(x)=g(x)-f(x)在x=0处取得极值.