已知函数f（x）=sin（x+α），g（x）=cos（x+β），x∈R，α、β∈（-π2，π2）．

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/08/05 22:12:09

已知函数f（x）=sin（x+α），g（x）=cos（x+β），x∈R，α、β∈（-

（Ⅰ）由题意可得 h（x）=f²（x）+g²（x）=
1−sin2x+1−sin2x
2＝1−sin2x，
故 h（x）是非奇非偶函数．
（Ⅱ）∵h(x)＝sin(x+
π
3)+cos(x+β)，h(−x)＝sin(−x+
π
3)+cos(−x+β)，h（x）偶函数，
∴h（x）=h（-x），sin(x+
π
3)+cos(x+β)＝sin(−x+
π
3)+cos(−x+β)2sinx(cos
π
3−sinβ)＝0，求得sinβ＝
1
2，
再根据β∈（-
π
2，
π
2），可得β=
π
6，经验证β＝
π
6满足题意．
（Ⅲ）假设存在α、β，使得t（x）=f（x）+g（x）是奇函数但不是偶函数，由t（0）=0，可得sinα=-cosβ．
由 β∈（-
π
2，
π
2），可得β-
π
2∈（-π，0），又α∈（-
π
2，
π
2），∴α=β-
π
2或α+（β-
π
2）=-π，
即α-β=-
π
2或α+β=-
π
2．
当α−β＝−
π
2时，t（x）=f（x）+g（x）=sin（x+α）+cos（x+β）
=sin（x+α）+cos(x+α+
π
2)=sin（x+α）-sin（x+α）=0，
此时t（x）既是奇函数又是偶函数．不合题意，舍去．
当α+β＝−
π
2时，t（x）=f（x）+g（x）=sin（x+α）+cos（x+β）
=sin（x+α）+cos(x−α+
π
2)=sin（x+α）-sin（x-α）=2cosαsinx，
此时，t（x）是奇函数但不是偶函数，故 α+β＝−
π
2满足条件．

已知函数f（x）=(√3/2)sinπx+(1/2)cosπx,x∈R 已知函数f(x)=sin(x+α),g(x)=cos(x+β),x∈R,α、β∈(-π/2,π/2) 已知函数f（x）=sin（π-x）+cos（x+3π），x∈R．已知函数f（x）=sin（2x+π/3）+sin（2x-π/3）+2cos²x-1,x∈R 已知函数f（x）=sinx+sin（x+π2），x∈R．已知函数f（x）=sin²x+根号3sinxcosx+2cos²x,x∈R 已知函数f（x）=cos²x+2根号3sinxcos²x-sin²x,x∈R求函数f（x）已知函数f(x)=cos(-x/2)+sin(π-x/2),x∈R 关于函数f（x）=2sin（x+φ）（φ为常数）和g(x)＝−12cos(2x+π6)（x∈R），h（x）=f（x）+g 已知函数f(x)=√2cos(x-π/12）,x∈R 已知函数f(x)=3sin(2x+π/4)+1(x∈R）已知函数g（x）=sin（2x+π6）-cos（4π3-2x），x∈R