搜搜做题作业网相似三角形动点问题、要分情况讨论..【急】【求高手】
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/18 14:05:07
相似三角形动点问题、要分情况讨论..【急】【求高手】
已知：如图在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ‖AB,P在AC上（与A,C不重合）,Q在BC上
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长
（3）在AB上是否存在点M,使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由；若存在,求PQ的长.
相似的动点问题,有分情况讨论,.如果有图的话再加50分..
原图……
已知：如图在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ‖AB,P在AC上（与A,C不重合）,Q在BC上
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长
（3）在AB上是否存在点M,使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由；若存在,求PQ的长.
相似的动点问题,有分情况讨论,.如果有图的话再加50分..
原图……
（1）由PQ‖AB可知△PQC与△ABC相似,相似三角形的面积之比等于相似比的平方,故
△ABC的面积/△PQC的面积=(AC/PC)^2,
1+四边形PABQ/△PQC的面积=(AC/PC)^2,
由△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等,则
得(AC/PC)^2=1+四边形PABQ/△PQC的面积=2
(AC/PC)^2=2,AC/CP=√2,CP=AC/√2=2√2,
（2）四边形PABQ的周长=BQ+QP+PA+AB
△PQC的周长=PQ+CQ+CP
由四边形PABQ的周长=△PQC的周长得
BQ+QP+PA+AB= PQ+CQ+CP
BQ+PA+AB= CQ+CP(1)
PA=AC-PC=4-PC,
CQ/BC=CP/AC,CQ=CP×BC/AC=3CP/4,
BQ=BC-CQ=3-3CP/4
上面三式代入(1)故得
(3-3CP/4)+(4-PC)+5=(3CP/4)+CP,
解得CP=24/7
（3）建立直角坐标系,以C为原点,AC与BC分别为横轴,纵轴,设M的坐标为(x,y),则x/4+y/3=1,3x+4y=12,PC=a,CQ=b,P,Q坐标分别为(a,0),Q(0,b),由PQ‖AB得a/4=b/3,b=3a/4,
MQ=√((x-0)^2+(y-3a/4)^2), MP=√((x-a)^2+(y-0)^2),
由MQ=MP得
x^2+(y-3a/4)^2=(x-a)^2+y^2
x^2+y^2-3ay/2+(3a/4)^2=x^2-2ax+a^2+y^2
2x-3y/2=7a/16
4x-3y=7a/8
将该方程与3x+4y=12联立,解得
x=36/25+7a/50,
y=192/100-21a/200
0<x<4, 0<36/25+7a/50<4,a<128/72,即对任意a<128/72,0<x<4,即对任意AC上的P点,PC<128/72,均可在AB上找到M点.使△PQM为等腰三角形,
如果要求△PQM是等腰直角三角形,两直线QM,MP斜率分别是
(y-b)/x=(192/100-21a/200-3a/4)/( 36/25+7a/50)
=(384-171a)/( 288+28a)
y/(x-a)= (192/100-21a/200)/(36/25+7a/50-a)
=(384-21a)/(288-172a)
QM垂直MP,则
(384-171a)(288-172a)=-(384-21a) ( 288+28a)
1201a^2-5000a+9216=0
这是关于a的2次方程,由判别式可知该方程没有解,故在AB上不存在M点使得△PQM为等腰直角三角形.
△ABC的面积/△PQC的面积=(AC/PC)^2,
1+四边形PABQ/△PQC的面积=(AC/PC)^2,
由△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等,则
得(AC/PC)^2=1+四边形PABQ/△PQC的面积=2
(AC/PC)^2=2,AC/CP=√2,CP=AC/√2=2√2,
（2）四边形PABQ的周长=BQ+QP+PA+AB
△PQC的周长=PQ+CQ+CP
由四边形PABQ的周长=△PQC的周长得
BQ+QP+PA+AB= PQ+CQ+CP
BQ+PA+AB= CQ+CP(1)
PA=AC-PC=4-PC,
CQ/BC=CP/AC,CQ=CP×BC/AC=3CP/4,
BQ=BC-CQ=3-3CP/4
上面三式代入(1)故得
(3-3CP/4)+(4-PC)+5=(3CP/4)+CP,
解得CP=24/7
（3）建立直角坐标系,以C为原点,AC与BC分别为横轴,纵轴,设M的坐标为(x,y),则x/4+y/3=1,3x+4y=12,PC=a,CQ=b,P,Q坐标分别为(a,0),Q(0,b),由PQ‖AB得a/4=b/3,b=3a/4,
MQ=√((x-0)^2+(y-3a/4)^2), MP=√((x-a)^2+(y-0)^2),
由MQ=MP得
x^2+(y-3a/4)^2=(x-a)^2+y^2
x^2+y^2-3ay/2+(3a/4)^2=x^2-2ax+a^2+y^2
2x-3y/2=7a/16
4x-3y=7a/8
将该方程与3x+4y=12联立,解得
x=36/25+7a/50,
y=192/100-21a/200
0<x<4, 0<36/25+7a/50<4,a<128/72,即对任意a<128/72,0<x<4,即对任意AC上的P点,PC<128/72,均可在AB上找到M点.使△PQM为等腰三角形,
如果要求△PQM是等腰直角三角形,两直线QM,MP斜率分别是
(y-b)/x=(192/100-21a/200-3a/4)/( 36/25+7a/50)
=(384-171a)/( 288+28a)
y/(x-a)= (192/100-21a/200)/(36/25+7a/50-a)
=(384-21a)/(288-172a)
QM垂直MP,则
(384-171a)(288-172a)=-(384-21a) ( 288+28a)
1201a^2-5000a+9216=0
这是关于a的2次方程,由判别式可知该方程没有解,故在AB上不存在M点使得△PQM为等腰直角三角形.