微积分题:设a>0,如果极限 lim (x^p)*(a^(1/x)-a^(1/(x+1))) 存在,试确定p的值...
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/12 18:30:32
微积分题:设a>0,如果极限 lim (x^p)*(a^(1/x)-a^(1/(x+1))) 存在,试确定p的值...
微积分题:设a>0,如果极限 lim (x^p)*(a^(1/x)-a^(1/(x+1))) 存在,试确定p的值,并求此极限
x趋向于正无穷
微积分题:设a>0,如果极限 lim (x^p)*(a^(1/x)-a^(1/(x+1))) 存在,试确定p的值,并求此极限
x趋向于正无穷
a^(1/x) - a^(1/(x+1) = a^ξ * [ 1/x - 1/(x+1) ] ξ ∈[1/(x+1),1/x] Lagrange 中值定理
= a^ξ * [ 1/x(x+1)],a^ξ -> 1
lim(x->+∞) a^ξ [ x^p / (x(x+1)] 存在
=》 p = 2
再问: 我在《微积分教程》极限 后面的习题里看到的,还没学到拉各朗日定理……
再答: 更正: a^(1/x) - a^(1/(x+1) = a^ξ * lna * [ 1/x - 1/(x+1) ] 或者如下: a^(1/x) - a^(1/(x+1) = a^(1/(x+1)) * [ a^1/(x(x+1)) - 1 ] a^(1/(x+1)) -> 1, [ a^1/(x(x+1)) - 1 ] 利用等价无穷小代换,a^t - 1 ~ t * lna [ a^ 1/(x(x+1)) - 1 ] ~ lna * [1/(x(x+1))] ...... => p ≤ 2 时,该极限存在。
= a^ξ * [ 1/x(x+1)],a^ξ -> 1
lim(x->+∞) a^ξ [ x^p / (x(x+1)] 存在
=》 p = 2
再问: 我在《微积分教程》极限 后面的习题里看到的,还没学到拉各朗日定理……
再答: 更正: a^(1/x) - a^(1/(x+1) = a^ξ * lna * [ 1/x - 1/(x+1) ] 或者如下: a^(1/x) - a^(1/(x+1) = a^(1/(x+1)) * [ a^1/(x(x+1)) - 1 ] a^(1/(x+1)) -> 1, [ a^1/(x(x+1)) - 1 ] 利用等价无穷小代换,a^t - 1 ~ t * lna [ a^ 1/(x(x+1)) - 1 ] ~ lna * [1/(x(x+1))] ...... => p ≤ 2 时,该极限存在。
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