O为△ABC内一点,BO、CD分别交AC,AB于D、E,若BE×BA+CD×CA=BC²,求证:A、D、O、E
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/12 08:51:18
O为△ABC内一点,BO、CD分别交AC,AB于D、E,若BE×BA+CD×CA=BC²,求证:A、D、O、E四点共圆.
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作∠CDF = ∠ABC 交CB于F,连接EF
△CDF 相似于△CBA,
所以 CD×CA = CF×CB = CF×(CF+FB)
即有 BE×BA = BC^2-CD×CA =(CF+FB)^2 -CF×(CF+FB)=FB×(FB+CF)= BF×BC
又 ∠EBF=∠CAB ,所以△BEF相似于△BCA
综上,△CDF 相似于△CBA 相似于△EBF
所以 CF/DF=EF/BF,∠EFC=∠EFD+∠DFC=∠EFB+∠DFC=∠DFE.
因此 △CFE 相似于 △DFB
于是,∠ADB=∠DCF+∠DBF=∠BEF+∠CEF=∠BEC
所以 ∠ADB +∠AEC =∠BEC +∠AEC = 180°
对角互补的四边形,四个顶点在同一圆上 ,所以A,D,O,E四点共圆
△CDF 相似于△CBA,
所以 CD×CA = CF×CB = CF×(CF+FB)
即有 BE×BA = BC^2-CD×CA =(CF+FB)^2 -CF×(CF+FB)=FB×(FB+CF)= BF×BC
又 ∠EBF=∠CAB ,所以△BEF相似于△BCA
综上,△CDF 相似于△CBA 相似于△EBF
所以 CF/DF=EF/BF,∠EFC=∠EFD+∠DFC=∠EFB+∠DFC=∠DFE.
因此 △CFE 相似于 △DFB
于是,∠ADB=∠DCF+∠DBF=∠BEF+∠CEF=∠BEC
所以 ∠ADB +∠AEC =∠BEC +∠AEC = 180°
对角互补的四边形,四个顶点在同一圆上 ,所以A,D,O,E四点共圆
四点共圆证明题o为三角形abc内一点,bo,co延长线分别交ac,ab于d,e.如果be×ba+cd×ca=bc的平方.
三角形ABC 为等腰三角形,AC=AB ,AB为圆O 的直径,BC、AC的延长线分别交圆O于E、D,求证:CE =CD.
如图,AB是三角形ABC的外接圆O的纸巾,D为圆O上一点,且DE垂直CD,交BC于点E.求证:AC:BE=CD:ED
已知:在△ABC中,D和E分别为AB和AC上的点,且DE∥BC,BE与CD交于点O,AO的延长线与BC交与点M,求证:B
三角形ABC,点D,E,F分别是AB,BC,CA中点,BF,CD交O,用向量法求证点A,O,E共线
如图,以三角形abc的边bc为直径作圆o,圆o分别交ab、ac于d、e两点,e为弧cd的中点,cd与be交于f点
如图,在△ABC中,AC⊥BC,AC=BC,D为AB上一点,AF⊥CD交于CD的延长线于点F,BE⊥CD于点E,求证:E
已知在三角形ABC中,D和E分别为AB和AC上的点,且DE//BC,BE与CD交于点O,AO的延长线与BC交与点M,求证
三角形ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,BF与CD交于点O,设向量AB=a,向量AC=b,证明A,O,E
在三角形ABC中 AB=AC CD垂直AB于D BE垂直AC于E CD,BE 交于点O 求证AO平分角BAC
已知△ABC中,D为AB的中点,E为AC上一点,AE=2CE,CD,BE交于O点,OE=2厘米.求BO的长.
如图,在△ABC中,D为AC上一点,且CD=AB.M,N分别为BC,AD的中点,MN的延长线交BA的延长线于点E,求证: