老师您解答的很详细,思路和具体步骤,谢谢
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/02 16:49:57
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解题思路: (1)首先求出一次函数y=﹣ x+ 与坐标轴交点A、B的坐标,然后解直角三角形求出BF、EF、AF的长; (2)由EF∥AD,且EF=AD=t,则四边形ADEF为平行四边形,若▱ADEF是菱形,则DE=AD=t.由DE=2OE,列方程求出t的值; 如答图1所示,推出∠BAG=∠GAF,∠ABG=∠AGF=30°,证明△AFG与△AGB相似. (3)当△ADF是直角三角形时,有两种情形,需要分类讨论: ①若∠ADF=90°,如答图2所示.首先求出此时t的值;其次求出点G的坐标,利用待定系数法求出直线BG的解析式,得到点M的坐标;最后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式; ②若∠AFD=90°,如答图3所示.解题思路与①相同.
解题过程:
如图,已知:如图①,直线y=﹣
x+
与x轴、y轴分别交于A、B两点,两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动(运动到O点停止);对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a(x﹣k)2+h(a<0)始终经过点E,过E作EG∥OA交抛物线于点G,交AB于点F,连结DE、DF、AG、BG.设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和
个单位长度/秒,运动时间为t秒.
(1)用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长;
(2)当t为何值时,四边形ADEF是菱形?判断此时△AFG与△AGB是否相似,并说明理由;
(3)当△ADF是直角三角形,且抛物线的顶点M恰好在BG上时,求抛物线的解析式.
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/08/b08947681dea3ed7a682ac65eb4a96f0.png)
考点:
二次函数综合题.2285354
专题:
压轴题.
分析:
(1)首先求出一次函数y=﹣
x+
与坐标轴交点A、B的坐标,然后解直角三角形求出BF、EF、AF的长;
(2)由EF∥AD,且EF=AD=t,则四边形ADEF为平行四边形,若▱ADEF是菱形,则DE=AD=t.由DE=2OE,列方程求出t的值;
如答图1所示,推出∠BAG=∠GAF,∠ABG=∠AGF=30°,证明△AFG与△AGB相似.
(3)当△ADF是直角三角形时,有两种情形,需要分类讨论:
①若∠ADF=90°,如答图2所示.首先求出此时t的值;其次求出点G的坐标,利用待定系数法求出直线BG的解析式,得到点M的坐标;最后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式;
②若∠AFD=90°,如答图3所示.解题思路与①相同.
解答:
解:(1)在直线解析式y=﹣
x+
中,令x=0,得y=
;令y=0,得x=1.
∴A(1,0),B(0,
),OA=1,OB=
.
∴tan∠OAB=
,∴∠OAB=60°,
∴AB=2OA=2.
∵EG∥OA,∴∠EFB=∠OAB=60°.
∴EF=
=
=t,BF=2EF=2t,
∴AF=AB﹣BF=2﹣2t.
(2)①∵EF∥AD,且EF=AD=t,∴四边形ADEF为平行四边形.
若▱ADEF是菱形,则DE=AD=t.
由DE=2OD,即:t=2(1﹣t),解得t=
.
∴t=
时,四边形ADEF是菱形.
②此时△AFG与△AGB相似.理由如下:
如答图1所示,连接AE,
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/5f/15faf93baca607a9377542d90d8c56f3.png)
∵四边形ADEF是菱形,
∴∠DEF=∠DAF=60°,
∴∠AEF=30°.
由抛物线的对称性可知,AG=AE,
∴∠AGF=∠AEF=30°.
在Rt△BEG中,BE=
,EG=2,
∴tan∠EBG=
=
,
∴∠EBG=60°,
∴∠ABG=∠EBG﹣∠EBF=30°.
在△AFG与△AGB中,∵∠BAG=∠GAF,∠ABG=∠AGF=30°,
∴△AFG∽△AGB.
(3)当△ADF是直角三角形时,
①若∠ADF=90°,如答图2所示:
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/c1/1c176d506f77377a3edd7a18dd4654f1.png)
此时AF=2DA,即2﹣2t=2t,解得t=
.
∴BE=
t=
,OE=OB﹣BE=
,
∴E(0,
),G(2,
).
设直线BG的解析式为y=kx+b,将B(0,
),G(2,
)代入得:
,解得k=
,b=
,
∴y=
x+
.
令x=1,得y=
,
∴M(1,
).
设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+
,点E(0,
)在抛物线上,
∴
=a+
,解得a=
.
∴y=
(x﹣1)2+
=
x2+
x+
.
②若∠AFD=90°,如答图3所示:
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/42/e422932bcad2ee3d32ec6a2e56814b0b.png)
此时AD=2AF,即:t=2(2﹣2t),解得:t=
.
∴BE=
t=
,OE=OB﹣BE=
,
∴E(0,
),G(2,
).
设直线BG的解析式为y=kx+b,将B(0,
),G(2,
)代入得:
,解得k=
,b=
,
∴y=
x+
.
令x=1,得y=
,∴M(1,
).
设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+
,点E(0,
)在抛物线上,
∴
=a+
,解得a=
.
∴y=
(x﹣1)2+
=
x2+
x+
.
综上所述,符合条件的抛物线的解析式为:y=
x2+
x+
或y=
x2+
x+
.
点评:
本题是中考压轴题,涉及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、解直角三角形、菱形等知识点.第(3)问中,有两种情形存在,需要分类讨论,避免漏解.
解题过程:
如图,已知:如图①,直线y=﹣
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/28/428f688158d566c40a1d8a08cd8af264.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/28/428f688158d566c40a1d8a08cd8af264.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/28/428f688158d566c40a1d8a08cd8af264.png)
(1)用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长;
(2)当t为何值时,四边形ADEF是菱形?判断此时△AFG与△AGB是否相似,并说明理由;
(3)当△ADF是直角三角形,且抛物线的顶点M恰好在BG上时,求抛物线的解析式.
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/08/b08947681dea3ed7a682ac65eb4a96f0.png)
考点:
二次函数综合题.2285354
专题:
压轴题.
分析:
(1)首先求出一次函数y=﹣
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/2f/52fe0af5d8613b2c2f2a2f478e0492b5.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/2f/52fe0af5d8613b2c2f2a2f478e0492b5.png)
(2)由EF∥AD,且EF=AD=t,则四边形ADEF为平行四边形,若▱ADEF是菱形,则DE=AD=t.由DE=2OE,列方程求出t的值;
如答图1所示,推出∠BAG=∠GAF,∠ABG=∠AGF=30°,证明△AFG与△AGB相似.
(3)当△ADF是直角三角形时,有两种情形,需要分类讨论:
①若∠ADF=90°,如答图2所示.首先求出此时t的值;其次求出点G的坐标,利用待定系数法求出直线BG的解析式,得到点M的坐标;最后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式;
②若∠AFD=90°,如答图3所示.解题思路与①相同.
解答:
解:(1)在直线解析式y=﹣
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/2f/52fe0af5d8613b2c2f2a2f478e0492b5.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/2f/52fe0af5d8613b2c2f2a2f478e0492b5.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/2f/52fe0af5d8613b2c2f2a2f478e0492b5.png)
∴A(1,0),B(0,
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/2f/52fe0af5d8613b2c2f2a2f478e0492b5.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/2f/52fe0af5d8613b2c2f2a2f478e0492b5.png)
∴tan∠OAB=
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/97/d97c86547d03aa9ae81fcfe410396778.png)
∴AB=2OA=2.
∵EG∥OA,∴∠EFB=∠OAB=60°.
∴EF=
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/8c/f8ccf55a7db4c8e40a0caab49d190478.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/8d/e8da79c25be90d0e7639c6fc40bb82c6.png)
∴AF=AB﹣BF=2﹣2t.
(2)①∵EF∥AD,且EF=AD=t,∴四边形ADEF为平行四边形.
若▱ADEF是菱形,则DE=AD=t.
由DE=2OD,即:t=2(1﹣t),解得t=
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/52/35235f3a01459494589ad92cfe107b20.png)
∴t=
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/52/35235f3a01459494589ad92cfe107b20.png)
②此时△AFG与△AGB相似.理由如下:
如答图1所示,连接AE,
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/5f/15faf93baca607a9377542d90d8c56f3.png)
∵四边形ADEF是菱形,
∴∠DEF=∠DAF=60°,
∴∠AEF=30°.
由抛物线的对称性可知,AG=AE,
∴∠AGF=∠AEF=30°.
在Rt△BEG中,BE=
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/7d/47d89011eb0dc9f68c31b3e067bb6293.png)
∴tan∠EBG=
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/04/a04ef269f30a737e4308ce496a3579fa.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/48/5484d1f94f17f277ccdcf091b7cdd9ab.png)
∴∠EBG=60°,
∴∠ABG=∠EBG﹣∠EBF=30°.
在△AFG与△AGB中,∵∠BAG=∠GAF,∠ABG=∠AGF=30°,
∴△AFG∽△AGB.
(3)当△ADF是直角三角形时,
①若∠ADF=90°,如答图2所示:
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/c1/1c176d506f77377a3edd7a18dd4654f1.png)
此时AF=2DA,即2﹣2t=2t,解得t=
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/2e/d2e167666d8b1ccc79d2eb569709e823.png)
∴BE=
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/48/5484d1f94f17f277ccdcf091b7cdd9ab.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/0c/e0cc01945ea0fb40dbe7838025d3d004.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/0c/e0cc01945ea0fb40dbe7838025d3d004.png)
∴E(0,
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/5d/55d6a809ca4a0e8a4c0f85d4e9229b1d.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/5d/55d6a809ca4a0e8a4c0f85d4e9229b1d.png)
设直线BG的解析式为y=kx+b,将B(0,
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/e1/6e12f469e71c2729ec6f34bcb358d002.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/5d/55d6a809ca4a0e8a4c0f85d4e9229b1d.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/2e/d2e439880fd92aaa50cd7c669ecce3ee.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/71/d7117d30105d10e18e5eb63623e3717f.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/e1/6e12f469e71c2729ec6f34bcb358d002.png)
∴y=
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/71/d7117d30105d10e18e5eb63623e3717f.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/0d/b0d454bf126a9df2c1de416774da023e.png)
令x=1,得y=
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/e3/6e32d49f3e4a550e2a70171708890347.png)
∴M(1,
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/e3/6e32d49f3e4a550e2a70171708890347.png)
设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/e3/6e32d49f3e4a550e2a70171708890347.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/87/8879441830ea8e743204a3fc8bd23479.png)
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/87/8879441830ea8e743204a3fc8bd23479.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/e3/6e32d49f3e4a550e2a70171708890347.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/0e/50e89095c0ccdd8a4387a15cbfdd0659.png)
∴y=
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/f9/4f946c361bb554412c1b0b2d4a7a30fe.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/a8/aa84af4e7c9df5ae2bb13ace329d0b5b.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/f9/4f946c361bb554412c1b0b2d4a7a30fe.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/2f/32f579a1aa8a17571a21589570017794.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/2f/32f579a1aa8a17571a21589570017794.png)
②若∠AFD=90°,如答图3所示:
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/42/e422932bcad2ee3d32ec6a2e56814b0b.png)
此时AD=2AF,即:t=2(2﹣2t),解得:t=
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/70/4702c25b8ecd3b1e67e03b4155069f9b.png)
∴BE=
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/14/514fccb97fe7c0c0ff55e0aecaa069db.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/bf/dbff40a41426ebffcc35d2e2c1d7583d.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/45/24501c6341f12c206eba652cbaca1249.png)
∴E(0,
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/45/24501c6341f12c206eba652cbaca1249.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/45/24501c6341f12c206eba652cbaca1249.png)
设直线BG的解析式为y=kx+b,将B(0,
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/14/514fccb97fe7c0c0ff55e0aecaa069db.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/45/24501c6341f12c206eba652cbaca1249.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/b5/fb5b7e2a5f93e27c8569a52e97fc0cca.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/7b/77b3a340f93f730a8736eef3c13a2a98.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/59/a59a19618c3e3df1a3f0b6334b509e2e.png)
∴y=
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/7b/77b3a340f93f730a8736eef3c13a2a98.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/59/a59a19618c3e3df1a3f0b6334b509e2e.png)
令x=1,得y=
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/8e/88e7bf14de07f1ffd93a7e4a792164cd.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/8e/88e7bf14de07f1ffd93a7e4a792164cd.png)
设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/8e/88e7bf14de07f1ffd93a7e4a792164cd.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/74/374e6640a251332a173443925ab91b9b.png)
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/74/374e6640a251332a173443925ab91b9b.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/e4/0e4fb2ad7187b1e972f0e9f987bed3c2.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/e5/4e59e988eeb05a1a01c1bf89b6736d98.png)
∴y=
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/e5/4e59e988eeb05a1a01c1bf89b6736d98.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/e4/0e4fb2ad7187b1e972f0e9f987bed3c2.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/e5/4e59e988eeb05a1a01c1bf89b6736d98.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/86/786d8391355a0c6f62a94c554829d3c8.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/66/a66854c43b429dcd67ac6b8c3dcfc4b5.png)
综上所述,符合条件的抛物线的解析式为:y=
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/25/425c99ce0148f1dec8251d528d9e2f40.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/7c/67c5dec41afde00200c6b02db0a30479.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/7c/67c5dec41afde00200c6b02db0a30479.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/4b/d4bce367ea393508b818bc6702de27ee.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/86/786d8391355a0c6f62a94c554829d3c8.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/66/a66854c43b429dcd67ac6b8c3dcfc4b5.png)
点评:
本题是中考压轴题,涉及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、解直角三角形、菱形等知识点.第(3)问中,有两种情形存在,需要分类讨论,避免漏解.