如图,∠ABC=90°AB=BC 点O是aC的中点点P是斜边AC上的一个动点 PB=PD DE⊥AC于点E,求证：PE

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/09 18:17:00

如图,∠ABC=90°AB=BC 点O是aC的中点点P是斜边AC上的一个动点 PB=PD DE⊥AC于点E,求证：PE＝AO

    如上图所示,过P点作BC边上的垂线（辅助线）,交BC于F点.
    ∵   PB=PD（已知）；                    ∴    ∠3=∠4
    ∵   ∠ABC=90°,AB=BC；              ∴   △ABC为等边直角三角形,即：∠A=∠C=45°.
    ∵   PF⊥BD,∠C=45°；               ∴   ∠5+∠4=45°.
    ∵ 点O是aC的中点,△ABC是等边直角三角形,∠A=45°；∴ ∠1+∠2=45°.
    ∵ PF⊥BD,∠ABC=90°；           ∴   PF∥BD；∴   ∠1=∠3（内错角）
    ∵   ∠3=∠4,∠5+∠4=45°；        ∴  ∠5+∠3=45°
    ∵ ∠1=∠3,∠1+∠2=45°；          ∴   ∠3+∠2=45°
    ∵    ∠5+∠3=45°,∠3+∠2=45°；∴    ∠5=∠2.
        在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC ,点O是aC的中点,故BO⊥AC,∠BOC=90°
    ∵   DE⊥AC,                                ∴  ,∠DEC=90°
      在△PBO和△DPE中,
    ∵ ∠BOC=90°,∠DEC=90°,∠5=∠2,PB=PD       ∴△PBO≌△DPE,PO=DE
      在△DEC中,DE⊥AC ,∠C=45°,∴△DEC为等边直角三角形,DE=CE
    ∵   PO=DE,DE=CE；                 ∴  PO=CE
    ∵ PO=CE                                     ∴ PO+OE=CE +OE,即PE=OC
    ∵ 点O是aC的中点,△ABC是等边直角三角形,∠A=45°
    ∴ AO=OC=PE（得证）
再问：谢谢，你的过程太麻烦了。并且我看不懂，你的过程
再答：思路：1、证明△PBO≌△DPE，PO=DE 2、DE=CE，则PO=CE，两边同时加共用边OE，PE=OC 3、因OC=AO（O为AC中点），PE=OC，故PE=AO（得证）

如图,∠ABC=90°AB=BC 点O是aC的中点 点P是斜边AC上的一个动点 PB=PD DE⊥AC于点E,求证：PE

如图,∠ABC=90°AB=BC 点O是aC的中点点P是斜边AC上的一个动点 PB=PD DE⊥AC于点E,求证：PE