分别以任意一个四边形的四条边为边作四个新的正方形,求证四个新的正方形的中心（相对的两个中心,不是相邻的）的连线互相垂直且

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/27 13:25:02

分别以任意一个四边形的四条边为边作四个新的正方形,求证四个新的正方形的中心（相对的两个中心,不是相邻的）的连线互相垂直且相等
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此题曾经难倒了名校老师,图片可能显示不出来,但是题意应该能理解

分别以任意一个四边形的四条边为边作四个新的正方形,求证四个新的正方形的中心（相对的两个中心,不是相邻的）的连线互相垂直且

这个是冯.奥伯定理,对于凹凸四边形,甚至三点共线的四边形都适用.
重新叙述命题如下：
1.已知一个任意四边形ABCD
2.以它的每条边AB,BC,CD,DA为边长向外作四个正方形S1 S2 S3 S4
3.取每个正方形的对角线交点E,F,G,H
4.连接上下两个交点E,G和左右两个交点F,H,EG和FH交与点J
证明:EG=FH且EG垂直于FH.
证明基本思想就是将FH旋转90度得到F'H',只要证明F'E‖GH'且相等,就可以得到F'EGH'是平行四边形,原题就能得到证明了.
四边形ABCD绕A点旋转90度,得新的四边形A'B'C'D',新四边形A'与A点重合,边A'B'与S1的一边重合
边B'C',D'A'外作四个正方形S'2 ,S'4
四个正方形S'2 ,S'4 的对角线交点F'、H',连接F'H',
因为FH绕A点旋转90度得到F'H',所以FH⊥F'H',且FH=F'H'
连接EF'、GH',得四边形F'EGH'
连接B'F'、B'E,连接DG、DH'
连接AC,DH'=DA*二分之根号二 , DG=CD*二分之根号二
所以DH'/DG=DA/CD
∠ADH'=∠CDG=45度,所以∠ADC=∠H'DG
所以△DGH'与△DCA等比,所以GH'=AC*二分之根号二,且GH'与AC成45度角
B'E=AB*二分之根号二 ,B'F'=BC*二分之根号二
所以B'E/AB=B'F'/BC=二分之根号二
又∠C'B'F'=∠EB'A'=45度,所以∠EB'F'=∠A'B'C'=∠ABC (A'与A点重合)
所以△EB'F'与△ABC等比,所以EF'=AC*二分之根号二,且EF'与AC成-135度角(角度的负值是相对与GH'与AC成的角)
所以 GH'=EF',且GH'与EF'成的角度是45-（-135）=180度,就是GH'‖EF'
所以四边形F'EGH'是平行四边形
所以GE=F'H',GE‖F'H', 又F'H'=FH且F'H'⊥FH
得到结论：GE=FH,GE⊥FH

已知任意四边形ABCD,分别以各边作四个正方形,O,P,Q,R分别为四个正方形的对角线交点求证：线段RQ垂直且等于线段为什么把正方形四等分只要过正方形的中心任画两条互相垂直的直线就可以把正方形分成四个完全相等的图形? 正方形的中心是什么,长方形的中心是什么,任意四边形的中心是什么 1.已知正方形ABCD与正方形ABEF,M,N分别为两个正方形的中心,求证MN平行平面EBC.2.已知PB垂直圆O所在平如图,圆内接一个边长为a的正方形ABCD,分别以正方形各边为直径向正方形外作半圆,则四个半圆与正方形外接一个边长为1的正方形,分别以四个顶点为圆心、边长为半径画弧,四弧围成的中心图形的面积是多少? 分别依次连接任意四边形、正方形、矩形、菱形的四边中点,得到的新的图形分别为. 在圆O中 AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD垂直AB于D,OE垂直AC于E,求证四边形是ABCD正方形有关正方形,需要分析过边长为1的正方形的中心O引两条互相垂直的射线,分别与正方形的边交于M、N两点,则线段MN长的取值范四边相等,且四个角相等的四边形是正方形, 已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个正方形如图，圆内接一个边长为a的正方形ABCD，分别以正方形各边为直径向正方形外作半圆，则四个半圆与正方形外接圆的四条弧围成的