正方形abcd的边长为1,p,q分别ad,cd上的动点,且三角形PQD的周长为2,求角PBQ大小和三角形PBD面积最小值
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/25 19:57:12
正方形abcd的边长为1,p,q分别ad,cd上的动点,且三角形PQD的周长为2,求角PBQ大小和三角形PBD面积最小值
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正方形ABCD的边长为1,P,Q分别AD,CD上的动点,且三角形PQD的周长为2,求角PBQ大小和三角形PBD面积最小值 思路:过B做PQ的垂线,交PQ于E.实际上 BE=AB=1 而且,PE=PA QE=QC 那么PDQ的周长=PE+PD+DQ+QE =AP+PD+DQ+QC=AD+CD=2.下面证明这一点.过B做PQ的垂线,交PQ于E.设PD长a,DQ长度b,PQ长度为c,BE长度为h 那么三角形PBQ的面积是 c*h/2 由题意,以下等式成立 a+b+c=2 ,c=2-a-b 正方形的面积=1 =三角形PAB+ PDQ + BQC + BPQ 的面积总和 = 1*(1-a)/2 + a*b/2 + 1*(1-b)/2 + (2-a-b)*h/2 整理后得到 ab + 2-a-b + (2-a-b)*h = 2 ab + (2-a-b)*(1+h) = 2 .(1) 另外,角D是直角,于是c^2 = a^2 + b^2 (2-a-b)^2 = a^2+b^2 a^2+b^2+4-4a-4b+2ab = a^2+b^2 4-4a-4b+2ab = 0 2-2a-2b+ab=0 ab + 4-2a-2b = 2 ab + (2-a-b)*2 = 2 .(2) 由(1)(2)可知,h只有一种可能.h = 1 BE=1=AB PB=PB 角PAB = 角PEB = 90度,根据勾股定理,AP=EP,PAB 与 PEB全等,PA = PE 角EBP=角PBA 同理有 EQ = CQ 角EBQ=角CBQ 角EBP + 角PBA + 角EBQ + 角CBQ=90度 2(角PBE+角EBQ)=90度 角PBE+角EBQ = 角PBQ=45度 !第二问 PBD的最小值当然是 P=D点的位置,面积=0 不过如果问 三角形PBQ 面积的最小值,那么就是 a=b的时候了.证明:(a-b)^2>=0 a^2 + b^2 - 2ab >=0 a^2+b^2>=2ab ,.(3) 且等号一定是在a=b的时候成立.由(2)可知,ab + (2-a-b)*2 = 2 ab = 2-2*c 且 c^2 = a^2 + b^2 (3)变成:c^2 >= 4-4c c^2+4c+4>=8 (c+2)^2>=8 c = 2√2-2 三角形PBQ 面积=ch/2 = c/2,最小值是 √2-1 !此时 a =b = c/√2 = 2-√2 可以验算此时满足 a+b+c=2 不知道还有没有更简便的方法.反正找到E点是必不可少的.
一个正方形ABCD,边长为1,P、Q分别为AB和AD边上的点,三角形APQ的周长为2,求角PCQ的度数
数学三角形几何题如图,正方形ABCD边长为1,P,Q分别是边BC,CD上的点,连结PQ,若三角形CPQ的周长是2,求角P
如图,在边长为2厘米的正方形ABCD中,点Q为BC的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB,PQ,则三角形PBQ周长的
如图,E、F分别是边长为1的正方形ABCD的边BC,CD上的点,且三角形CEF的周长为2,求角EAF的大小?
正方形ABCD的边长为1,AB、AD上各有一点P、Q.若三角形APQ的周长为2,求角PCQ的度数
边长为1的正方形ABCD中,E F分别是AB、AD上的点,且角ECF=45度,求三角形AEF的周长
边长为2+根号3的正方形ABCD内有一点P,BP=2,角PBC=30度,Q为正方形边上一动点,且三角形PBQ为等腰三角形
如图正方形abcd的边长为一,pq分别是ab,AD上的点,且三角形apq的周长为二,求角PCq的度数.
边长为2的正方形ABCD中E,F分别BC,CD上的点且角EAF=45度,求三角形EAF的面积
1.如图,在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上的动点连接PB,则△PBQ的周长的最小
如图,正方形ABCD中边长为1,P,Q非别为BC,CD上的点,△CPQ周长为2,PQ最小值
边长为2的正方形ABCD中,P,Q分别在BC,CD上,若角PAQ=45度,则三角形PCQ的周长是多少?