有没有反函数求导的例题?
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/09 20:54:24
有没有反函数求导的例题?
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反函数的求导法则——设x=g(y)在区间I内单调且可导,g'(y)=0,则其反函数y=f(x)在对应区间
J={x|x=g(y),y属于I}内也是可导的,且f'(x)=1/g'(y)
证明:因为x=g(x)在区间I内单调可导
所以x=g(y)在I内单调连续==>其反函数y=f(x)在对应区间J是单调连续的
任取x属于J,并设x有增量△x,反函数的对应增量
△y=f(x+△x)-f(x)不等于0
△y/△x=1/(△x/△y)
因为y=f(x)是连续函数,由函数连续性的定义
当△x->0时,△y->0,且g'(x)不等于0,从而有
△x->0,lim(△y/△x)=lim[1/(△x/△y)]=1/lim(△y->0)(△x/△y)=1/g'(x)
所以f'(x)=1/g'(x)
例:设y=arcsinx,y=arccosx,求y'
y=f(x)=arcsinx (-1
J={x|x=g(y),y属于I}内也是可导的,且f'(x)=1/g'(y)
证明:因为x=g(x)在区间I内单调可导
所以x=g(y)在I内单调连续==>其反函数y=f(x)在对应区间J是单调连续的
任取x属于J,并设x有增量△x,反函数的对应增量
△y=f(x+△x)-f(x)不等于0
△y/△x=1/(△x/△y)
因为y=f(x)是连续函数,由函数连续性的定义
当△x->0时,△y->0,且g'(x)不等于0,从而有
△x->0,lim(△y/△x)=lim[1/(△x/△y)]=1/lim(△y->0)(△x/△y)=1/g'(x)
所以f'(x)=1/g'(x)
例:设y=arcsinx,y=arccosx,求y'
y=f(x)=arcsinx (-1