如图,以三角形ABC的边AB,AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG.求证：若DF∥BC,则AB=AC,反之.

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/23 04:30:33

如图,以三角形ABC的边AB,AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG.求证：若DF∥BC,则AB=AC,反之.
如图,以三角形ABC的边AB,AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG.求证：若DF∥BC,则AB=AC,反之则DF∥BC.+++++速度越快愈好++++++

证明：(1)因为由于正方形边长相等,
∴AB=AC与AE=AG同时成立与否,
故若DF∥BC,则AB=AC,与若DF∥EG,则AE=AG,是相同的命题,
∴当DF∥BC时,其实也DF∥EG
∴EG∥BC
作AK⊥BC于K,延长KA交EG于H,
∴KH⊥EG
因为∠HAG=∠KCA(同为∠KAC的余角)
GA=AC∴RT△GHA≅RT△AKC
∴GH=AK
同理EH=AK
∴EH=HG
∴AE=AG
则AB=AC
(2)同上作KA⊥BC于K,延长KA交GE于H,
因为AB=AC
∴∠ABK=∠ACK
作GH'⊥KH于H'于是RT△GH'A≅RT△AKC
∴∠H'AG=∠ACK
同理可证明∠H''AE=∠ABK
∴∠H'AG=∠H''AE
∴AH⊥EG(等腰三角形三线合一)
∴EG∥BC
分别延长ED、GF交直线BC于P、Q,
因为∠P=∠ABC   ∠Q=ACB(平行线同位角)
∠ABC=ACB     ∴∠P=∠Q
BD=CF
∴RT△DPB≅RT△FQC
∴DP=FQ
ED=CF
∴ED/DQ=GF/FQ
∴EG∥DF∥PQ
即DF∥BC