线性代数证明题,第二小题,证明基础解系
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/26 23:27:12
线性代数证明题,第二小题,证明基础解系
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/b6/eb6f1dc8437f9b702582294508fceb2f.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/b6/eb6f1dc8437f9b702582294508fceb2f.jpg)
![线性代数证明题,第二小题,证明基础解系](/uploads/image/z/17844926-14-6.jpg?t=%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%A2%98%2C%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E5%B0%8F%E9%A2%98%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%9F%BA%E7%A1%80%E8%A7%A3%E7%B3%BB)
证明
因为ηi(i=1,s) 是Ax=b的解
所以 Aηi=b,Aη0=b
两个式子相减得到A(ηi-η0)=b-b=0
所以ηi-η0(i=1...s) 是Ax=0的解
下面证明ηi-η0(i=1...s) 是线性无关的.
设k1(η1-η0)+k2(η2-η0)+k3(η3-η0)+.+ks(ηs-η0)=0
展开整理后得到k1η1+k2η2+.+ksηs-(k1+k2+...+ks)η0=0
根据η0 η1.ηs线性无关,所以k1=k2=...=ks=0
所以η1-η0,η2-η0.ηs-η0是线性无关的.
且r(A)=n-s,所以Ax=0的基础解系中含有s个线性无关向量.
所以η1-η0,η2-η0.ηs-η0是Ax=0的基础解系.
因为ηi(i=1,s) 是Ax=b的解
所以 Aηi=b,Aη0=b
两个式子相减得到A(ηi-η0)=b-b=0
所以ηi-η0(i=1...s) 是Ax=0的解
下面证明ηi-η0(i=1...s) 是线性无关的.
设k1(η1-η0)+k2(η2-η0)+k3(η3-η0)+.+ks(ηs-η0)=0
展开整理后得到k1η1+k2η2+.+ksηs-(k1+k2+...+ks)η0=0
根据η0 η1.ηs线性无关,所以k1=k2=...=ks=0
所以η1-η0,η2-η0.ηs-η0是线性无关的.
且r(A)=n-s,所以Ax=0的基础解系中含有s个线性无关向量.
所以η1-η0,η2-η0.ηs-η0是Ax=0的基础解系.