线面角的正弦值(用几何法和建立空间直角坐标系两种方法解答)第
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/16 02:37:28
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解题思路: 平面与平面垂直的判定与性质,异面直线所成的角,直线与平面所成的角。如果用建立空间直角坐标系的方法,最好是设点E为坐标原点,PE所在的轴是y轴,解题思路与几何法相同。但计算量更大,不建议用建系的方法。一般处理几何问题如果直接证明没有思路的话就考虑向量的方法,比较好。
解题过程:
(1)证明:由于底面ABCD是矩形,故AD⊥BC,
由于AD⊥PD,CD∩PD=D,
因此AD⊥平面PDC,而AD∈平面ABCD,
所以平面PDC⊥平面ABCD。
(2)解:在平面PDC中,过点P作PE⊥CD于E,连接EB
由于平面PDC⊥平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线,
故PE⊥平面ABCD
由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角,
在△PDC中,由于PD=CD=2,PC=2
,可得∠PCD=30°,
在Rt△PEC中,PE=PCsin30°=
.
由AD∥BC,AD⊥平面PDC,
得BC⊥平面PDC,因此BC⊥PC
在Rt△PCB中,PB=
=![](http://img.wesiedu.com/upload/8/0c/80cc94639a107ab2f9947b700c1af212.png)
在Rt△PEB中,sin∠PBE=
=![](http://img.wesiedu.com/upload/f/ae/fae0617c26d31595cc57ff128f567cff.png)
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为
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解题过程:
(1)证明:由于底面ABCD是矩形,故AD⊥BC,
由于AD⊥PD,CD∩PD=D,
因此AD⊥平面PDC,而AD∈平面ABCD,
所以平面PDC⊥平面ABCD。
(2)解:在平面PDC中,过点P作PE⊥CD于E,连接EB
由于平面PDC⊥平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线,
故PE⊥平面ABCD
由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角,
在△PDC中,由于PD=CD=2,PC=2
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在Rt△PEC中,PE=PCsin30°=
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/07/a0723c8ced24bcb56c77309ee59e46f6.png)
由AD∥BC,AD⊥平面PDC,
得BC⊥平面PDC,因此BC⊥PC
在Rt△PCB中,PB=
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/63/163ad2b21375dd49dcc08feeabd76e6f.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/0c/80cc94639a107ab2f9947b700c1af212.png)
在Rt△PEB中,sin∠PBE=
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/42/e42c4bf4b51d4b9d0a3788285cb22408.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/ae/fae0617c26d31595cc57ff128f567cff.png)
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为
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