(2014•邯郸二模)已知函数f(x)=(x2-2x)•lnx+ax2+2
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/13 03:18:58
(2014•邯郸二模)已知函数f(x)=(x2-2x)•lnx+ax2+2
(Ⅰ)当a=-1时,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)-x-2;
(i)若函数g(x)有且仅有一个零点时,求a的值;
(ii)在(i)的条件下,若e-2<x<e,g(x)≤m,求m的取值范围.
(Ⅰ)当a=-1时,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)-x-2;
(i)若函数g(x)有且仅有一个零点时,求a的值;
(ii)在(i)的条件下,若e-2<x<e,g(x)≤m,求m的取值范围.
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(Ⅰ)当a=-1时,f(x)=(x2-2x)•lnx-x2+2,定义域(0,+∞)
∴f′(x)=(2x-2)•lnx+(x-2)-2x.…(1分)
∴f′(1)=3,
又f(1)=1,
∴f(x)在(1,f(1))处的切线方程3x+y-4=0 …(2分)
(Ⅱ)(ⅰ)令g(x)=f(x)-x-2=0
则=(x2-2x)•lnx+ax2+2=x+2,即a=
1−(x−2)lnx
x …(4分)
令h(x)=
1−(x−2)lnx
x,
则h′(x)=
1−x−2lnx
x2
令t(x)=1-x-2lnx,则t′(x)=
−x−2
2
∵x>0,∴t′(x)<0,
∴t(x)在(0,+∞)上是减函数…(6分)
又∵t(1)=h′(1)=0,
∴当0<x<1时,h′(x)>0,当x>1时,h′(x)<0,
∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
∴h(x)max=h(1)=1,
∴当函数g(x)有且仅有一个零点时a=1 …(8分)
(ⅱ)当a=1时,g(x)=(x2-2x)•lnx+x2-x,
若e-2<x<e,g(x)≤m,只需证明g(x)max≤m,
∴g′(x)=(x-1)(3+2lnx),
令g′(x)=0得x=1或x=e−
3
2 …(11分)
又∵e-2<x<e,
∴函数g(x)在(e-2,e−
3
2 )上单调递增,在(e−
3
2,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增
又g(e−
3
2 )=-
1
2e-3+2e−
3
2,g(e)=2e2-3e
∵g(e−
3
2 )=-
1
2e-3+2e−
3
2<2e−
3
2<2e<2e(e-
3
2)=g(e),
∴g(e−
3
2 )<g(e),
∴m≥2e2-3e…(14分)
∴f′(x)=(2x-2)•lnx+(x-2)-2x.…(1分)
∴f′(1)=3,
又f(1)=1,
∴f(x)在(1,f(1))处的切线方程3x+y-4=0 …(2分)
(Ⅱ)(ⅰ)令g(x)=f(x)-x-2=0
则=(x2-2x)•lnx+ax2+2=x+2,即a=
1−(x−2)lnx
x …(4分)
令h(x)=
1−(x−2)lnx
x,
则h′(x)=
1−x−2lnx
x2
令t(x)=1-x-2lnx,则t′(x)=
−x−2
2
∵x>0,∴t′(x)<0,
∴t(x)在(0,+∞)上是减函数…(6分)
又∵t(1)=h′(1)=0,
∴当0<x<1时,h′(x)>0,当x>1时,h′(x)<0,
∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
∴h(x)max=h(1)=1,
∴当函数g(x)有且仅有一个零点时a=1 …(8分)
(ⅱ)当a=1时,g(x)=(x2-2x)•lnx+x2-x,
若e-2<x<e,g(x)≤m,只需证明g(x)max≤m,
∴g′(x)=(x-1)(3+2lnx),
令g′(x)=0得x=1或x=e−
3
2 …(11分)
又∵e-2<x<e,
∴函数g(x)在(e-2,e−
3
2 )上单调递增,在(e−
3
2,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增
又g(e−
3
2 )=-
1
2e-3+2e−
3
2,g(e)=2e2-3e
∵g(e−
3
2 )=-
1
2e-3+2e−
3
2<2e−
3
2<2e<2e(e-
3
2)=g(e),
∴g(e−
3
2 )<g(e),
∴m≥2e2-3e…(14分)
(2013•和平区二模)已知函数f(x)=lnx+x2-ax.
(2014•市中区二模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
(2014•烟台二模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx.
已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.
已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx
已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx,a∈R
(2011•重庆二模)已知函数f(x)=(x2+1)lnx-2x+2的定义域为[1,+∞).
(2011•杭州二模)已知函数f(x)=12x2+(a−3)x+lnx.
(2012•资阳一模)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R.
(2014•安阳一模)已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+x,a∈R.
(2008•石景山区一模)已知函数f(x)=ax2+1x−2lnx(x>0).