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3的立次方根是无理数还是有理数?

来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/08 12:15:41
3的立次方根是无理数还是有理数?
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3的立次方根是无理数还是有理数?
3的立次方根是无理数
反证,假如它是有理数,按照有理数定义,可以设
3的立次方根=P/Q(p,Q为互质的自然数)
两边同时立方有:
3=P^3/Q^3
p^3=3*Q^3
所以P是3的倍数,设P=3m(m为自然数)
有27m^3=3*Q^3
9m^3=q^3
所以Q是9的倍数,也就是3的倍数
P是3的倍数,Q是3的倍数,这与前面互质的规定矛盾,
所以不存在这样的p,Q表示3的三次方根
所以它不是有理数.
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