(2014•陕西)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/12 20:50:25
(2014•陕西)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.
(Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;
(Ⅱ)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.
(Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;
(Ⅱ)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.
由题设得,g(x)=
x
1+x(x≥0)
(Ⅰ)由已知g1(x)=
x
1+x,
g2(x)=g(g1(x))=
x
1+x
1+
x
1+x=
x
1+2x,
g3(x)=
x
1+3x…
可得gn(x)=
x
1+nx
下面用数学归纳法证明.①当n=1时,g1(x)=
x
1+x,结论成立.
②假设n=k时结论成立,即gk(x)=
x
1+kx,
那么n=k+1时,gk+1(x)=g(gk(x))=
gk(x)
1+ gk(x)=
x
1+kx
1+
x
1+kx=
x
1+(k+1)x即结论成立.
由①②可知,结论对n∈N+成立.
(Ⅱ)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥
ax
1+x恒成立.
设φ(x)=ln(1+x)-
ax
1+x(x≥0),则φ′(x)=
1
1+x−
a
(1+x)2=
x+1−a
(1+x)2,
当a≤1时,φ′(x)≥0(仅当x=0,a=1时取等号成立),
∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,
又φ(0)=0,
∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立.
∴当a≤1时,ln(1+x)≥
ax
1+x恒成立,(仅当x=0时等号成立)
当a>1时,对x∈(0,a-1]有φ′(x)<0,∴φ(x)在∈(0,a-1]上单调递减,
∴φ(a-1)<φ(0)=0
即当a>1时存在x>0使φ(x)<0,
故知ln(1+x)≥
ax
1+x不恒成立,
综上可知,实数a的取值范围是(-∞,1].
(Ⅲ)由题设知,g(1)+g(2)+…+g(n)=
1
2+
2
3+…+
n
n+1
x
1+x(x≥0)
(Ⅰ)由已知g1(x)=
x
1+x,
g2(x)=g(g1(x))=
x
1+x
1+
x
1+x=
x
1+2x,
g3(x)=
x
1+3x…
可得gn(x)=
x
1+nx
下面用数学归纳法证明.①当n=1时,g1(x)=
x
1+x,结论成立.
②假设n=k时结论成立,即gk(x)=
x
1+kx,
那么n=k+1时,gk+1(x)=g(gk(x))=
gk(x)
1+ gk(x)=
x
1+kx
1+
x
1+kx=
x
1+(k+1)x即结论成立.
由①②可知,结论对n∈N+成立.
(Ⅱ)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥
ax
1+x恒成立.
设φ(x)=ln(1+x)-
ax
1+x(x≥0),则φ′(x)=
1
1+x−
a
(1+x)2=
x+1−a
(1+x)2,
当a≤1时,φ′(x)≥0(仅当x=0,a=1时取等号成立),
∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,
又φ(0)=0,
∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立.
∴当a≤1时,ln(1+x)≥
ax
1+x恒成立,(仅当x=0时等号成立)
当a>1时,对x∈(0,a-1]有φ′(x)<0,∴φ(x)在∈(0,a-1]上单调递减,
∴φ(a-1)<φ(0)=0
即当a>1时存在x>0使φ(x)<0,
故知ln(1+x)≥
ax
1+x不恒成立,
综上可知,实数a的取值范围是(-∞,1].
(Ⅲ)由题设知,g(1)+g(2)+…+g(n)=
1
2+
2
3+…+
n
n+1
(2014陕西,21,14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf '(x),x≥0,其
(2014•南昌二模)已知函数y=f(x)对任意的x∈R满足2xf′(x)-2xf(x)ln2>0(其中f′(x)是函数
设函数f(x)的导数为f‘(x),且f(x)=x²+2xf‘(1),则f‘(0)等于
设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图像可能是
设函数g(x)=(x+1)ln(x+1)-x,f(x)=a(x+1)^2ln(x+1)+bx,曲线
设函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=3x*2+2xf'(2),则f'(5)
设函数f(x)=x-(x+1)ln(x+1),
设函数f(x),g(x)为定义域相同的奇函数,试问 (1)函数F(x)=f(x)+g(x)是奇函数还是偶函数?为什么?(
设f(x)=xf(3/x)+1,(x不等于0,x属于R),求函数f(x)的解析式?
已知函数f(x)=ln(x+x
设函数f(X)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导数f'(x)=1/x,g(x)=f(x)+f'(x) .
设函数f(x)=x