函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))=f(x),则这样的函数个数共有多少?

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/04 12:01:43

函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))=f(x),则这样的函数个数共有多少?
我看了很多这道题的讲解,但还是没懂.
f[f(x)]=f(x),则就是：f(x)=x,这块我懂
但函数f:{1,2,3}→{1,2,3}哪块相当于f(x)?哪块相当于x呀?
还有三对二的情况可不可以列举一下?
我觉得就三种呀（1,2,3）→（1,2）；（1,2,3）→（1,3）；
（1,2,3）→（2,3）

显然元映射f(x)=x满足函数方程,是一个解.
常函数显然也是解,即f(x)=1,2或者3.3个解.
这四个是平凡解,下面求非平凡解.
设f(x)=y≠x,那么f(y)=f(f(x))=f(x)=y,
剩下z,首先f(z)≠y,否则成常函数了.
其次,若f(z)=x,则f(x)=f(f(z))=f(z)=x,与f(x)=y≠x矛盾.
故必有f(z )=z
所以非平凡解有两个不动点,一个变动点.
动点有3选,并且动点可映射至两个不动点之一,故非平凡解共是2×3种.
所以满足函数方程的解函数f(x)共有1+3+6=10个.

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