设映射f:X→Y,若存在一个映射g:Y→X,使g°f=Ix,f°g=Iy,其中Ix、Iy分别是X、Y上的恒等映射,即对于
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/31 15:08:19
设映射f:X→Y,若存在一个映射g:Y→X,使g°f=Ix,f°g=Iy,其中Ix、Iy分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个x∈X,有Ixx=x;对于每一个y∈Y,有Iyy=y.证明:f是双映射,且g是f的逆映射:g=f-1;(注此题目中的Ix、Iy中的小x、y都应该是大X或Y下沉而得到,应打不出小的X、Y,所以用x、y替代)
算了!为了你那十分,我还是把过程写写.
1.
g°f=idx,f°g=idy ,idx,idy 为恒等映射,现证明,f为单射,g为满射!
设x1,x2∈X,使f(x1)=f(x2)
x1=idx(x1)=g°f(x1)=g°f(x2)=idx(x2)=x2
f为单射!
对任意x,令y=f(x)
x=idx(x)=g°f(x)=g(y)
即:对任意的x,存在y 使g(y)=x
g为满射!
2.
若g°f=idx,f°g=idy ,则f,g为一一映射,且f=g(-1),g=f(-1)
证明:由1知道,f,g均为一一映射!
现只需证明对任意的x∈X,y∈Y有
f(-1)(y)=g(y),g(-1)(x)=f(x)
∵f(-1)°f=idx ,g(-1)°g=idy
g(y)=f(-1)°f°g(y)=f(-1)°[f°g(y)]
=f(-1)(y) 对任何y∈Y成立.
f(x)=g(-1)°g°f(x)=g(-1)°[g°f(x)]
=g(-1)(x) 对任何x∈X都成立.
∴f(-1)(y)=g(y),g(-1)(x)=f(x)成立!
你去参考武汉大学邹应老师编的数学分析,或者高等教育出版社张禾瑞老师编的高等代数.
其实很多地方都有!
1.
g°f=idx,f°g=idy ,idx,idy 为恒等映射,现证明,f为单射,g为满射!
设x1,x2∈X,使f(x1)=f(x2)
x1=idx(x1)=g°f(x1)=g°f(x2)=idx(x2)=x2
f为单射!
对任意x,令y=f(x)
x=idx(x)=g°f(x)=g(y)
即:对任意的x,存在y 使g(y)=x
g为满射!
2.
若g°f=idx,f°g=idy ,则f,g为一一映射,且f=g(-1),g=f(-1)
证明:由1知道,f,g均为一一映射!
现只需证明对任意的x∈X,y∈Y有
f(-1)(y)=g(y),g(-1)(x)=f(x)
∵f(-1)°f=idx ,g(-1)°g=idy
g(y)=f(-1)°f°g(y)=f(-1)°[f°g(y)]
=f(-1)(y) 对任何y∈Y成立.
f(x)=g(-1)°g°f(x)=g(-1)°[g°f(x)]
=g(-1)(x) 对任何x∈X都成立.
∴f(-1)(y)=g(y),g(-1)(x)=f(x)成立!
你去参考武汉大学邹应老师编的数学分析,或者高等教育出版社张禾瑞老师编的高等代数.
其实很多地方都有!
设f:A→B是A到B的一个映射,其中A=B={(x,y)∣x,y∈R},f:(x,y) →(x-y,x+y),
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高等数学的映射概念映射概念:设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定
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