已知顶点为A(1,5)的抛物线y=ax2+bx+c经过点B(5,1). (1)求抛物线的解析式; (2)如图(1),设C
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/16 20:32:54
已知顶点为A(1,5)的抛物线y=ax2+bx+c经过点B(5,1). (1)求抛物线的解析式; (2)如图(1),设C,D分别是x轴、y轴上的两个动点,求四边形ABCD的最小周长; (3)在(2)中,当四边形ABCD的周长最小时,作直线CD.设点P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一个动点,Q是OP的中点,以PQ为斜边按图(2)所示构造等腰直角三角形PQR. ①当△PQR与直线CD有公共点时,求x的取值范围; ②在①的条件下,记△PQR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于x的函数关系式,并求S的最大值.
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1﹚
∵抛物线的顶点为A(1,5)
∴可以设抛物线解析式为:y=a﹙x-1﹚²+5
∵它经过点B﹙5,1﹚ ∴1=a﹙5-1﹚²+5 ∴a=﹣1/4=﹣0.25
∴抛物线解析式为:y=﹣0.25﹙x-1﹚²+5
2﹚
∵A﹙1,5﹚ B﹙5,1﹚ ∴AB=4√2
∴四边形ABCD周长=4√2+BC+CD+AD
∴四边形ABCD周长的最小值:就是BC+CD+AD的最小值+4√2
作点B﹙5,1﹚关于X轴的对称点B′﹙﹣5,1﹚
点A﹙1,5﹚关于Y轴的对称点A′﹙1,﹣5﹚
连接A′B′分别交X、Y轴于点C、D
此时线段A′B′的长度就是BC+CD+AD的最小值
∵根据轴对称性 不论点D在Y轴的何处 A′D=AD,同样B′C=BC
∴BC+CD+AD=B′C+CD+A′D
而B′C+CD+A′D的最小值是在B′C、 CD、 A′D构成一条直线时
∴BC+CD+AD的最小值=6√2
∴四边形ABCD周长的最小值=6√2+4√2=10√2
∵抛物线的顶点为A(1,5)
∴可以设抛物线解析式为:y=a﹙x-1﹚²+5
∵它经过点B﹙5,1﹚ ∴1=a﹙5-1﹚²+5 ∴a=﹣1/4=﹣0.25
∴抛物线解析式为:y=﹣0.25﹙x-1﹚²+5
2﹚
∵A﹙1,5﹚ B﹙5,1﹚ ∴AB=4√2
∴四边形ABCD周长=4√2+BC+CD+AD
∴四边形ABCD周长的最小值:就是BC+CD+AD的最小值+4√2
作点B﹙5,1﹚关于X轴的对称点B′﹙﹣5,1﹚
点A﹙1,5﹚关于Y轴的对称点A′﹙1,﹣5﹚
连接A′B′分别交X、Y轴于点C、D
此时线段A′B′的长度就是BC+CD+AD的最小值
∵根据轴对称性 不论点D在Y轴的何处 A′D=AD,同样B′C=BC
∴BC+CD+AD=B′C+CD+A′D
而B′C+CD+A′D的最小值是在B′C、 CD、 A′D构成一条直线时
∴BC+CD+AD的最小值=6√2
∴四边形ABCD周长的最小值=6√2+4√2=10√2
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