已知函数f(x)对一切x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).,f(3\1)=1,且当x>0时,f(x)>0
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 11:36:00
已知函数f(x)对一切x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).,f(3\1)=1,且当x>0时,f(x)>0
①如果f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围
①如果f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围
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解由f(x+y)=f(x)+f(y).,
取y=0
即f(x+0)=f(x)+f(0).,
即f(x)=f(x)+f(0).,
即f(0)=f(x)-f(x)=0
由f(0)=0
即f(0)=f(x-x)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=0
即f(-x)=-f(x)
即f(x)是奇函数
下面证明函数的单调性
设x1,x2属于R,且x1>x2
则f(x1)—f(x2)
=f(x1)+f(-x2)
=f(x1-x2)
由x1>x2,即x1-x2>0
又有当x>0时,f(x)>0
即f(x1-x2)>0
即f(x1)>f(x2)
即y=f(x)在R是增函数
由f(2/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
即不等式f(x)+f(2+x)<2,
变为f(x)+f(2+x)<f(2/3),
即f(x+2+x)
取y=0
即f(x+0)=f(x)+f(0).,
即f(x)=f(x)+f(0).,
即f(0)=f(x)-f(x)=0
由f(0)=0
即f(0)=f(x-x)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=0
即f(-x)=-f(x)
即f(x)是奇函数
下面证明函数的单调性
设x1,x2属于R,且x1>x2
则f(x1)—f(x2)
=f(x1)+f(-x2)
=f(x1-x2)
由x1>x2,即x1-x2>0
又有当x>0时,f(x)>0
即f(x1-x2)>0
即f(x1)>f(x2)
即y=f(x)在R是增函数
由f(2/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
即不等式f(x)+f(2+x)<2,
变为f(x)+f(2+x)<f(2/3),
即f(x+2+x)
已知函数f(x)对一切实数x,y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时,f(x)小于0,又f(x)=
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