当x不等于0时f(x)=(((1+x)^(1/x))-e)/x 当x=0时,f(x)=a,f(x)在x=0处连续,试求a

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/19 19:16:33

当x不等于0时f(x)=(((1+x)^(1/x))-e)/x 当x=0时,f(x)=a,f(x)在x=0处连续,试求a的值.

依题意,因为f(x)在x＝0连续,所以Lim(x→0)f(x)=a
lim(x→0)[(1+x)^(1/x)-e]/x
=lim(x→0){e^[(1/x)ln(1+x)]-e}/x
=lim(x→0){e^[ln(1+x)/x]-e}/x
=e×lim(x→0){e^[ln(1+x)/x-1]-1}/x 【等价无穷小替换,见后面备注】
=e×lim(x→0){[ln(1+x)/x]-1}/x
=e×lim(x→0)[ln(1+x)-x]/x²(洛必达法则)
=e×lim(x→0)[1/(1+x)-1]/(2x)
=e×lim(x→0)(-x)/[2x(1+x)]
=-e/2
【备注】等价无穷小代换：
e^x-1～x(x→0),令x=ln(1+x)/x-1,因为
lim(x→0)[ln(1+x)/x-1]
=lim(x→0)[ln(1+x)-x]/x(洛必达法则)
=lim(x→0)[1/(1+x)-1]/1
=0
故e^[ln(1+x)/x-1]-1～ln(1+x)/x-1(x→0,即ln(1+x)/x-1→0
所以a=-e/2

设函数f(x)=x^a*sin(1/x)(x>0)试求a的值使f(x)在x=0处了连续 ,且当x=0时,f(x)=0 设f(x)在点x=0处连续,当x不等于0时f(x)=2^(-1/x^2),则f(0)=? 已知a>0且a不等于1,f(x)=x^2-a^x,当x (- 当x=0时,f(x)=1,当x不等于0时,f(x)=sinx/x,如何证明f(x)在x=0处可导. 已知函数f(x)=ln|x|,x不等于0 函数g(x)=1/f'(x)+af'(x)x不等于0 (1)当x不等于0时当x=0时,f(x)=1,当x不等于0时,f(x)=sinx的绝对值,求在x=0处的极限? 已知f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=3x²-x+1,求当x a>0,a不等于0,f(X)=X^2-a^x,当-1 设f(x)在x=0处连续,当x趋向0时f(x)/x的极限等于1,则f(0)+ f’(0)的值设函数f(x)=,{(1/x)*sinπx,x不等于0,a,x=0,在x=0处连续,求a值. 如果f(1/x)=x/(1-x),则当x不等于0,1时,f(x)= 数学难题已知函数F(x)=LOGa1+X/1-X (a>0,a不等于1) (1)求F(x)的定义域 (2)当a>1时,求