已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球面面积与球的体积

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/05 21:02:59

已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球面面积与球的体积
球的半径=3/2倍的√6,这个答案是问同学的,但是同学说他是抄的,他也不知道怎么写,所以想问下这个半径是怎么求出来的,过程一定要能让我看得懂,有图最好了,

首先任何平面对于球体的截面都是圆形,而且截面到球心的距离d、圆形截面的半径r和整个球体的半径R满足勾股定理的关系R²=r²+d².这个应该是书上的定理,我记得我高中学立体几何有这个定理.如果楼主对这个不清楚,可以追问一下我,目前不做详细解释.
这道题无论求面积还是体积,只要求出整个球体半径R就全都出来了,球半径R可以通过上面的公式R²=r²+d²,现在所有问题都落在了如何求截面圆半径r上.
这就是个平面几何问题了,圆周上的三个点ABC构成AC=BC=6,AB=4的三角形,求圆半径.我想到可以用正弦定理BC/sinA=2r来做（当然可以有别的方法）,就是算一个角的sin值,再用对边边长除以这个sin值就是直径长度2r.这是个等腰三角形,比较好办,从C往AB做一个高CD,就同时是中线,AD=BD=2,这样CD=√(AC²-AD²)=√32=4√2
所以sin值sinA=CD/AC=(2√2)/3
于是2r=BC/sinA=(9√2)/2所以r=(9√2)/4
于是用R²=r²+d²把d=R/2、r=(9√2)/4代入,算出R²=81/8+R²/4,R²=27/2,R=3√(3/2)=3/2倍的√6就是那个答案.计算过程都是根式,容易出错,楼主可以自己验算一下.
再问：能画个图出来吗？？就是告诉我辅助线应该画在哪，因为我不知道A、B、C三点应该取在哪
再答：

总之楼主就看一个俯视图，只管这个截面圆形；一个圆周上，取一个满足边长是6、6、4的等腰三角形，可以有无数种取法，就是一个最简单的三角形外接圆的图形不一定非要在立体空间里面去想象。