设函数f(x)在【0,派】上连续,且∫f(x)dx =0,∫f(x)cosxdx =0 两个式子的积分上下限均为0到派
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/03 07:40:50
设函数f(x)在【0,派】上连续,且∫f(x)dx =0,∫f(x)cosxdx =0 两个式子的积分上下限均为0到派
证明:在(0,派)内f(x)至少有两个零点
证明:在(0,派)内f(x)至少有两个零点
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证明
记g(x)=∫(0~x)f(x)dx由于f(x)在[0,π]上连续,可知g(x)在[0,π]上可导
易知g(0)=g(π)=0
∫(0~π)f(x)cosxdx=∫(0~π)g'(x)cosxdx=∫(0~π)cosxdg(x)
=g(x)cosx|(0,π)+∫(0~π)g(x)sinxdx=∫(0~π)g(x)sinxdx=0.(*)
若在(0,π)内恒有g(x)sinx>0,则∫(0~π)g(x)sinxdx>0与(*)矛盾
若在(0,π)内恒有g(x)sinx
记g(x)=∫(0~x)f(x)dx由于f(x)在[0,π]上连续,可知g(x)在[0,π]上可导
易知g(0)=g(π)=0
∫(0~π)f(x)cosxdx=∫(0~π)g'(x)cosxdx=∫(0~π)cosxdg(x)
=g(x)cosx|(0,π)+∫(0~π)g(x)sinxdx=∫(0~π)g(x)sinxdx=0.(*)
若在(0,π)内恒有g(x)sinx>0,则∫(0~π)g(x)sinxdx>0与(*)矛盾
若在(0,π)内恒有g(x)sinx
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