设f(x)在「a,b」上连续且f(x)>0,F(x)=定积分(上限x下限a)f(t)dt+定积分(上限x下限b)1/f(
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/26 23:22:14
设f(x)在「a,b」上连续且f(x)>0,F(x)=定积分(上限x下限a)f(t)dt+定积分(上限x下限b)1/f(t)dt,证明F'(x)大于等于2,方程F(x)=0在(a,b)内有且只有一根
![设f(x)在「a,b」上连续且f(x)>0,F(x)=定积分(上限x下限a)f(t)dt+定积分(上限x下限b)1/f(](/uploads/image/z/16657963-43-3.jpg?t=%E8%AE%BEf%EF%BC%88x%EF%BC%89%E5%9C%A8%E3%80%8Ca%2Cb%E3%80%8D%E4%B8%8A%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E4%B8%94f%EF%BC%88x%EF%BC%89%EF%BC%9E0%2CF%EF%BC%88x%EF%BC%89%3D%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86%EF%BC%88%E4%B8%8A%E9%99%90x%E4%B8%8B%E9%99%90a%EF%BC%89f%EF%BC%88t%EF%BC%89dt%2B%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86%EF%BC%88%E4%B8%8A%E9%99%90x%E4%B8%8B%E9%99%90b%EF%BC%891%EF%BC%8Ff%EF%BC%88)
(1) 证明:
设不定积分 ∫f(t)dt的一个原函数为F1(t);∫1/f(t) *dt 的一个原函数为 F2(t),则:
F1’(t) = f(t),F2’(t) = 1/f(t)
F(x) =[x,a]∫f(t)dt + [x,b]∫[1/f(t)]*dt
= F1(x) – F1(a) + F2(x) –F2(b)
F’(x) = F1’(x) + F2’(x)
= f(x) + 1/f(x)
由于当x∈[a,b]时,f(x)>0,因此,在此区间内有:
F(x) = f(x)+ 1/f(x) ≥ 2√(f(x)*1/f(x)) =2
即:F(x) ≥2
证毕
说明:该结论要求定积分中的可变上限x必须满足a≤x≤b,而不是仅仅是f(x)在[a,b]上大于0;
(2)
由(1) 当x∈[a,b]时, F’(x)=2>0,因此F(x) 在区间[a,b]上单调递增;
F(a) = F1(a) – F1(a) + F2(a)-F2(b) = -[a,b]∫1/f(t)dt
F(b) = F1(b )– F1(a) + F2(b)-F2(b) = [a,b]∫f(t)dt
由于 [a,b]上 f(t)>0 ==> 1/f(t)>0,因此[a,b]上的积分
F(a) = -[a,b]∫1/f(t)dt < 0;
F(b) = [a,b]∫f(t) *dt >0;
即 F(a)*F(b)
再问: 为什么f(x)+1/f(x)>2根号f(x)1/f(x)这一步怎么来的
再答: 基本不等式,任意a>0,b>0,有 a+b ≥ 2√(a*b)
再问: 谢谢明白了
设不定积分 ∫f(t)dt的一个原函数为F1(t);∫1/f(t) *dt 的一个原函数为 F2(t),则:
F1’(t) = f(t),F2’(t) = 1/f(t)
F(x) =[x,a]∫f(t)dt + [x,b]∫[1/f(t)]*dt
= F1(x) – F1(a) + F2(x) –F2(b)
F’(x) = F1’(x) + F2’(x)
= f(x) + 1/f(x)
由于当x∈[a,b]时,f(x)>0,因此,在此区间内有:
F(x) = f(x)+ 1/f(x) ≥ 2√(f(x)*1/f(x)) =2
即:F(x) ≥2
证毕
说明:该结论要求定积分中的可变上限x必须满足a≤x≤b,而不是仅仅是f(x)在[a,b]上大于0;
(2)
由(1) 当x∈[a,b]时, F’(x)=2>0,因此F(x) 在区间[a,b]上单调递增;
F(a) = F1(a) – F1(a) + F2(a)-F2(b) = -[a,b]∫1/f(t)dt
F(b) = F1(b )– F1(a) + F2(b)-F2(b) = [a,b]∫f(t)dt
由于 [a,b]上 f(t)>0 ==> 1/f(t)>0,因此[a,b]上的积分
F(a) = -[a,b]∫1/f(t)dt < 0;
F(b) = [a,b]∫f(t) *dt >0;
即 F(a)*F(b)
再问: 为什么f(x)+1/f(x)>2根号f(x)1/f(x)这一步怎么来的
再答: 基本不等式,任意a>0,b>0,有 a+b ≥ 2√(a*b)
再问: 谢谢明白了
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且定积分{上限a,下限b}f(x)dx=0,证明在[a,b]上至少
126.设F(x)=∫x (积分上限) 0 (积分下限) sint / t dt ,求 F’(0)
f(x+t)dt积分上限为x,积分下限为a的定积分为
定积分证明已知 积分号(上限X,下限0)(x-t)f(t)dt=1-cosx证明:积分号(上限π/2,下限0)f(x)d
设f(x)=x+2∫f(t)dt,积分上限是1,下限是0 其中f(x)为连续函数,求f(x)
设f(2x+a)=xe^(x/b),求定积分∫(上限a+2b下限y)f(t)dt
变上限积分F(x)=∫(上限x,下限0)tf(t)dt,求F(x)的导数
设函数F(X)具有二阶连续导数,且满足F(X)=[微分(上限X下限0)F(1-t)dt]+1,求F(X)
定积分∫(上限x下限a)f(t)dt,x和t哪个大?
1、若函数f(x)连续,设F(x)=定积分上限2下限1f(t+lnx)dt,求F'(x)
定积分∫(上限x下限a)f'(4t)dt=
一道高数题f(x)在[0,a]上连续,第一问:证明∫(积分上限a 积分下限0)f(x)dx=∫(积分上限a,积分下限0)