已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点 为圆心,1为半径为圆相切,又知C的一个焦点与A关于
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/30 21:12:55
已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点![]() (1)求双曲线C的方程; (2)若Q是双曲线C上的任一点,F 1 、F 2 为双曲线C的左、右两个焦点,从F 1 引∠F 1 QF 2 的平分线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程; (3)设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点,另一直线L经过M(﹣2,0)及AB的中点,求直线 l 在y轴上的截距b的取值范围. |
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(1)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,即kx﹣y=0.
∵该直线与圆
相切,
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x.
设双曲线C的方程为
,
∵双曲线C的一个焦点为
,
∴2a 2 =2,a 2 =1.∴双曲线C的方程为x 2 ﹣y 2 =1.
(2)若Q在双曲线的右支上,则延长QF 2 到T,使|QT|=|OF 1 |;
若Q在双曲线的左支上,则在QF 2 上取一点T,使|QT|=|QF 1 |.
根据双曲线的定义,|TF 2 |=2, 所以点T在以F 2
为圆心,2为半径的圆上,即点T的轨迹方程是
. ①
由于点N是线段F 1 T的中点,设N(x,y),T(x T ,y T ),则
代入①并整理,得点N的轨迹方程为
.
(3)由
.
令f(x)=(1﹣m 2 )x 2 ﹣2mx﹣2,直线与双曲线左支交于两点,等价于方程 f(x)=0 在(﹣∞,0)上有两个不等实根,
因此
.又AB的中点为
,
∴直线L的方程为
.
令x=0,得
.∵
,
∴
.
∴故b的取值范围是
.
∵该直线与圆
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/e3/4e3da9d77b67e6df82527e9ac5f357a2.jpg)
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x.
设双曲线C的方程为
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/20/520630e492222d03bc6369192d8ba182.jpg)
∵双曲线C的一个焦点为
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/40/b404e96acd43bd0bd3017a2b6963a992.jpg)
∴2a 2 =2,a 2 =1.∴双曲线C的方程为x 2 ﹣y 2 =1.
(2)若Q在双曲线的右支上,则延长QF 2 到T,使|QT|=|OF 1 |;
若Q在双曲线的左支上,则在QF 2 上取一点T,使|QT|=|QF 1 |.
根据双曲线的定义,|TF 2 |=2, 所以点T在以F 2
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由于点N是线段F 1 T的中点,设N(x,y),T(x T ,y T ),则
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/ba/8ba51335bf074a51232f9b38bb772e4a.jpg)
代入①并整理,得点N的轨迹方程为
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/62/e62f62fcec75b71ccc9ddba7d8a488d2.jpg)
(3)由
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/2e/e2ec54c2dbbc08a584a0b18607869802.jpg)
令f(x)=(1﹣m 2 )x 2 ﹣2mx﹣2,直线与双曲线左支交于两点,等价于方程 f(x)=0 在(﹣∞,0)上有两个不等实根,
因此
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/f4/bf4384a26de9fbcd9d3e070161372f78.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/10/910fc9c346f249edceab507d0cfbd22f.jpg)
∴直线L的方程为
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/7d/b7d44146d688ca394d8c4d33427f7e33.jpg)
令x=0,得
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/03/7030dbe757eaf60daee1202bd606eaf4.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/9a/19ad16a245a9030739fd2239879b40cc.jpg)
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/39/f39fe3aad16f5dfd5d5ba8c6ca3df040.jpg)
∴故b的取值范围是
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/26/1262ba5556942770153edc6ed82fe696.jpg)
已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点A(0,2)为圆心,1为半径为圆相切,又知C的一个焦
已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点,且两条渐近线与以点A(0,√2) 为圆心,1为半径的圆相切,又已知C
椭圆与双曲线检测已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点A(0,根2)为圆心,1为半径的圆相
已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点A(0,2)为圆心,1为半径为圆相切,又知C的一个焦
已知焦点在X轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点A
已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点,且与以点A(根号2,0)为圆心,1为半径的圆相切.双曲线的一个顶点A'与点A关于直线
已知焦点在X轴上的双曲线C的两条渐进线过坐标原点,且两条渐进线与以点A(0,根号2)为圆心,1为半径的圆 相切,又知C的
双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,实轴长为2,它的两条渐近线与以A(0,1)为园心,根号2/2为半径的圆相切,直线l过点
2.已知焦点在X轴上的双曲线c的两条渐进线过原点,且两条渐进线与以点K(0,√2)为圆心,1为半径圆相切,又知c的一个焦
已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,
已知焦点在y轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点
设双曲线的中心在原点 焦点在X轴上 实轴长为2 他的两条渐近线与以(0.1)为圆心,2分之根号2为半径的园相切,