数学一
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 16:29:29
请用分析法证明公理一
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解题思路: 利用分析法,逐步分析使欲证的不等式成立的条件,直至显然。 本题主要利用“平方”.
解题过程:
定理: 如果a、b是实数,则 |a+b|≤|a|+|b|, 当且仅当ab≥0时,等号成立.
证明:(用分析法)
对任意实数a、b,
欲证 |a+b| ≤ |a|+|b|,
只需证 |a+b|² ≤ (|a|+|b|)²,
即证 (a+b)² ≤ |a|²+|b|²+2|a||b|,
即证 a²+b²+2ab ≤ a²+b²+2|a||b|,
只需证 2ab ≤ 2|ab|,
只需证 ab ≤ |ab|,
∵ 最后一个不等式成立, 当且仅当ab≥0时等号成立,
∴ 不等式 |a+b| ≤ |a|+|b| 成立, 当且仅当ab≥0时等号成立.
证毕.
解题过程:
定理: 如果a、b是实数,则 |a+b|≤|a|+|b|, 当且仅当ab≥0时,等号成立.
证明:(用分析法)
对任意实数a、b,
欲证 |a+b| ≤ |a|+|b|,
只需证 |a+b|² ≤ (|a|+|b|)²,
即证 (a+b)² ≤ |a|²+|b|²+2|a||b|,
即证 a²+b²+2ab ≤ a²+b²+2|a||b|,
只需证 2ab ≤ 2|ab|,
只需证 ab ≤ |ab|,
∵ 最后一个不等式成立, 当且仅当ab≥0时等号成立,
∴ 不等式 |a+b| ≤ |a|+|b| 成立, 当且仅当ab≥0时等号成立.
证毕.