已知如图：△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/29 02:06:35

已知如图：△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，则FC（AC+EC）=______．

∵∠ODA=∠OAD=45°，
∴OD=OA=m-3，则点D的坐标是（0，m-3）．
又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，
所以可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²，
得：

a(3−1)2＝m
a(0−1)2＝m−3，
解得：

a＝1
m＝4，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x+1；
过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，
设点Q的坐标是（x，x²-2x+1），
则QM=CN=（x-1）²，MC=QN=3-x．
∵QM∥CE，
∴△PQM∽△PEC，
∴
QM
EC＝
PM
PC，
∴
(x−1)2
EC＝
x−1
2，
∴EC=2（x-1）．
∵QN∥FC，
∴△BQN∽△BFC，
∴
QN
FC＝
BN
BC，
∴
3−x
FC＝
4−(x−1)2
4，
∴FC＝
4
x+1，
∵AC=4，
∴FC（AC+EC）=
4
x+1[4+2（x-1）]=
4
x+1（2x+2）=
4
x+1×2×（x+1）=8．
故答案为：8．