如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面的对角线AB1、BC1上分别有两点E、F,且B1E=C1F,求证EF∥平面

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/05 02:03:41

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面的对角线AB1、BC1上分别有两点E、F,且B1E=C1F,求证EF∥平面ABCD

法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M,FN⊥BC于点N,连接MN．
∵BB1⊥平面ABCD,
∴BB1⊥AB,BB1⊥BC．
∴EM∥BB1,FN∥BB1．∴EM∥FN．
又B1E=C1F,∴EM=FN．
故四边形MNFE是平行四边形．
∴EF∥MN．又MN在平面ABCD中,
∴EF∥平面ABCD．
证法二：过E作EG∥AB交BB1于点G,连接GF,则 B1EB1A= B1GB1B．
∵B1E=C1F,B1A=C1B,∴ C1FC1B= B1GB1B．
∴FG∥B1C1∥BC．
又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B,
∴平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中,
∴EF∥平面ABCD．
再问：又B1E=C1F，∴EM=FN．故四边形MNFE是平行四边形． EM=FN和B1E=C1F相等有什么关系
再答：证法一：根据直线与平面平行的判定定理可知：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和这个平面平行．故只需在平面ABCD中找到与EF平行的直线即可．证法二：证明一条直线与一个平面平行，除了可以根据直线与平面平行的判定定理以外，通常还可以通过平面与平面平行进行转化，比如过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，根据三角形相似比可知：平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，故可以证得：EF∥平面ABCD．
再问：这些我知道，但是EM=FN为什么就B1E=C1F呢
再答：题目有B1E=C1F ∴EM∥BB1，FN∥BB1．∴EM∥FN．又B1E=C1F，∴EM=FN．

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1上的点,且B1E=C1F,求证:EF‖平面ABCD 如右图所示,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,面对角线AB1,BC1上分别有两点E,F且B1E=C 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在AB1上,点F在BD上,且B1E=BF.求证:EF平行平面AA1D1D 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在AB1上,F在BD上,且B1E= BF.求证：EF// 平面BB1C1C. 如图,正方体ABCD-A'B'C'D'中,E在AB1上,F在BD上,且B1E=BF.求证：EF∥平面BB'C'C （1）已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,E,F分别在AB1,BD上,且B1E=BF,求证：EF平行平面BCC 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在AB1上,F在BD上,且B1E=BF,求证EF平行于平面BB1C1C 正方体ABCD-A1B2C3D4中,E在AB1上,F在BD上.且B1E=BF求证EF//BB1C1C 正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别在B1A、C1B上,且EB1=1/3AB,C1F=1/3C1B.求证EF/ 在正方形ABCD-A1B1C1D1中,E.F分别在B1A.C1B上,且EB1=1/3AB1,C1F=1/3C1B,求证E 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB1,BC1的中点,（1）若M为B1B的中点,证明：平面EMF 在正方体ABCD–A1B1C1D1中,E,F分别是BD,AD上的两点,且DE=D1F,求证EF‖平面CDD1C1