若函数f（x）在（0，+∞）上恒有xf′（x）＞f（x）成立（其中f′（x）为f（x）的导函数），则称这类函数为A类函数

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/21 09:24:56

若函数f（x）在（0，+∞）上恒有xf′（x）＞f（x）成立（其中f′（x）为f（x）的导函数），则称这类函数为A类函数．
（1）若函数g（x）=x²-1，试判断g（x）是否为A类函数；
（2）若函数h（x）=ax-3-lnx-

1−a

（1）∵g'（x）=2x，
∴xg'（x）-g（x）=2x²-（x²-1）=x²+1＞0在（0，+∞）上恒成立，即xg'（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，
∴g（x）=x²-1是A型函数．
（2）h′（x）=a-
1
x+
1−a
x2（x＞0），
由xh'（x）＞h（x），
得ax-1+
1−a
x＞ax-3-lnx-
1−a
x，
∵x＞0，∴可化为2（a-1）＜2x+xlnx，
令p（x）=2x+xlnx，p'（x）=3+lnx，
令p'（x）=0，得x=e^-3，
当x∈（0，e^-3）时，p'（x）＜0，p（x）是减函数；
当x∈（e^-3，+∞）时，p'（x）＞0，p（x）是增函数，
∴p（x）min=p（e^-3）=-e^-3，
∴2（a-1）＜-e^-3，a＜1-
1
2e^-3．
（3）证明：函数f（x）是（0，+∞）上的每一点处都有导数，且xf'（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立，
设F（x）=
f(x)
x，F′（x）=
xf′(x)−f(x)
x2＞0在（0，+∞）时恒成立，
∴函数F（x）=
f(x)
x在（0，+∞）上是增函数，
∵x₁＞0，x₂＞0，∴x₁+x₂＞x₁＞0，x₁+x₂＞x₂＞0，
∴F（x₁+x₂）＞F（x₁），F（x₁+x₂）＞F（x₂），即
f(x1+x2)
x1+x2＞
f(x1)
x1，
f(x1+x2)
x1+x2＞
f(x2)
x2，
∴f（x₁）＜
x1f(x1+x2)
x1+x2，f（x₂）＜
x2f(x1+x2)
x1+x2，
两式相加，得f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．

设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R内恒成立的是（　　）设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x＝-2处取得极小值,则函数y=xf′（x）的图像可能是设函数f(x)的导函数为f'（x）,且满足f（x）=3x*2+2xf'（2）,则f'（5）定义域为（0，+∞）的可导函数f（x）满足xf′（x）＞f（x）且f（2）=0，则f(x)x＜0的解集为（　　）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数,当x＞0时,f（x）满足：2f（x）+xf′（x）＞xf（x）,则f（x）在区间[ 已知f(x)为定义在（0,+∞）上的可导函数,且xf'(x)-f(x)>0,则不等式x^2f(1/x)>f(x)的解集为设函数f（x）的导数为f‘（x）,且f(x)=x²+2xf‘（1）,则f‘（0）等于若函数y=f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b恒成立，则称y=f（x）为“Ω函数已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f 定义在R上的可导函数f（x）的导函数f′（x），且xf′（x）+f（x）＞0，那么12f(1)与f（2）的大小关系是（若函数y=f（x）在R上可导且满足不等式xf′（x）+f（x）＞0恒成立，且常数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的已知函数f(x)＝sinx／（sinx+cosx）,f'(x)为 f(x)的导函数,则f'