(2011•江门一模)设y=f(x)是定义在区间(a,b)(b>a)上的函数,若对∀x1、x2∈(a,b),都有|f(x
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/06 16:29:02
(2011•江门一模)设y=f(x)是定义在区间(a,b)(b>a)上的函数,若对∀x1、x2∈(a,b),都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,则称y=f(x)是区间(a,b)上的平缓函数.
(1)试证明对∀k∈R3,f(x)=x2+kx+14都不是区间(-1,1)5上的平缓函数;
(2)若f(x)是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数,试证明对∀x1、x2∈R,|f(x1)-f(x2)|≤1.
(1)试证明对∀k∈R3,f(x)=x2+kx+14都不是区间(-1,1)5上的平缓函数;
(2)若f(x)是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数,试证明对∀x1、x2∈R,|f(x1)-f(x2)|≤1.
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(1)∀x1、x2∈(-1,1),|f(x1)-f(x2)|=|x1+x2+k|×|x1-x2|(1分).
若k≥0,则当x1、x2∈(
1
2,1)时,x1+x2+k>(12分),从而|f(x1)-f(x2)|>|x1-x2|(3分);
若k<0,则当x1、x2∈(−1,−
1
2)时,x1+x2+k<-1,|x1+x2+k|>1(4分),
从而|f(x1)-f(x2)|>|x1-x2|,所以对任意常数k,f(x)=x2+kx+1都不是区间(-1,1)上的平缓函数(5分).
(2)若x1、x2∈[0,2],①当|x1-x2|≤1时,|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|≤1(6分);
②当|x1-x2|>1时,不妨设0≤x1<x2≤2,根据f(x)的周期性,f(0)=f(2)(7分),
|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(2)-f(x2)|≤|f(x1)-f(0)|+|f(2)-f(x2)|
≤|x1|+|2-x2|=x1+2-x2=2-(x2-x1)<1(11分),
所以对∀x1、x2∈[0,2],都有|f(x1)-f(x2)|≤1(12分).
对∀x1、x2∈R,根据f(x)的周期性(且T=2),存在p1、p2∈[0,2],
使f(x1)=f(p1)、f(x2)=f(p2),从而|f(x1)-f(x2)|=|f(p1)-f(p2)|≤1(17分).
若k≥0,则当x1、x2∈(
1
2,1)时,x1+x2+k>(12分),从而|f(x1)-f(x2)|>|x1-x2|(3分);
若k<0,则当x1、x2∈(−1,−
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2)时,x1+x2+k<-1,|x1+x2+k|>1(4分),
从而|f(x1)-f(x2)|>|x1-x2|,所以对任意常数k,f(x)=x2+kx+1都不是区间(-1,1)上的平缓函数(5分).
(2)若x1、x2∈[0,2],①当|x1-x2|≤1时,|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|≤1(6分);
②当|x1-x2|>1时,不妨设0≤x1<x2≤2,根据f(x)的周期性,f(0)=f(2)(7分),
|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(2)-f(x2)|≤|f(x1)-f(0)|+|f(2)-f(x2)|
≤|x1|+|2-x2|=x1+2-x2=2-(x2-x1)<1(11分),
所以对∀x1、x2∈[0,2],都有|f(x1)-f(x2)|≤1(12分).
对∀x1、x2∈R,根据f(x)的周期性(且T=2),存在p1、p2∈[0,2],
使f(x1)=f(p1)、f(x2)=f(p2),从而|f(x1)-f(x2)|=|f(p1)-f(p2)|≤1(17分).
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