（2006•重庆）如图，对每个正整数n，An（xn，yn）是抛物线x2=4y上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/14 12:09:44

（2006•重庆）如图，对每个正整数n，A_n（x_n，y_n）是抛物线x²=4y上的点，过焦点F的直线FA_n交抛物线于另一点B_n（s_n，t_n）．
（Ⅰ）试证：x_ns_n=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取x_n=2ⁿ，并记C_n为抛物线上分别以A_n与B_n为切点的两条切线的交点．试证：|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=2ⁿ-2^-n+1+1．

（2006•重庆）如图，对每个正整数n，An（xn，yn）是抛物线x2=4y上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点

证明：（Ⅰ）对任意固定的n≥1，因为焦点F（0，1），
所以可设直线A_nB_n的方程为y-1=k_nx，
将它与抛物线方程x²=4y联立得：x²-4k_nx-4=0，
由一元二次方程根与系数的关系得x_ns_n=-4（n≥1）．
（Ⅱ）对任意固定的n≥1，
利用导数知识易得抛物线x²=4y在A_n处
的切线的斜率kAn＝
xn
2，
故x²=4y在A_n处的切线的方程为：y−yn＝
xn
2(x−xn)，①
类似地，可求得x²=4y在B_n处的切线的方程为：y−tn＝
sn
2(x−sn)，②
由②-①得：yn−tn＝−
xn−sn
2x+

x2n−
s2n
2＝

x2n
4−

s2n
4，
xn−sn
2x＝

x2n−
s2n
4，∴x＝
xn+sn
2③
将 ③代入 ①并注意x_ns_n=-4得交点C_n的坐标为(
xn+sn
2，−1)．
由两点间的距离公式得：|FCn|2＝(
xn+sn
2)2+4＝

x2n
4+

s2n
4

如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y-1）2=1于点A、B、C、D，则|AB|×|CD|的值是（（2013•槐荫区二模）如图，直线y=x与抛物线y=x2-x-3交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线P 已知抛物线的焦点F在y轴上，抛物线上一点A(a，4)到准线的距离是5，过点F的直线与抛物线交于M、N两点，过M、N两点分已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．如图,设抛物线C:x^2=4y的焦点为F,P(x0,y0)为抛物线上的任一点（x不等于0）过P点的切线交y轴于Q点. 抛物线x2=4y p是抛物线上的动点过p点作圆x2+（y+1）2=1的切线交直线y=-2于AB两点当PB恰好切抛物线与点如图，已知抛物线x2=4y，过抛物线上一点A（x1，y1）（不同于顶点）作抛物线的切线l，并交x轴于点C，在直线y=-1 已知P为抛物线C：y2=4x上的一点，F为抛物线C的焦点，其准线与x轴交于点N，直线NP与抛物线交于另一点Q，且|PF| 已知抛物线x2=4y.过抛物线焦点F,作直线交抛物线于M,N两点设F抛物线y^2=4x的焦点,过点F作直线交抛物线于MN两点,则三角形MON的面积最小值是抛物线C:y^2=4x,F是C的焦点,过点F且斜率为1的直线l交抛物线于A、B两点抛物线+直线过抛物线y^2=4x的焦点作直线,交抛物线于点A（x1,y1）B(x2,y2),若y1+y2=2乘根号2,则