搜搜做题作业网微分中值定理证明题如图所示
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/26 01:59:07
微分中值定理证明题如图所示
由中值定理,首先存在ξ1∈(a,b),使得f'(ξ1)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
再记g(x)=f(x)-f'(ξ1)x²/(a+b)=f(x)-[f(b)-f(a)]x²/(b²-a²)
则g(a)=f(a)-[f(b)-f(a)]a²/(b²-a²)=[b²f(a)-a²f(b)]/(b²-a²)
g(b)=f(b)-[f(b)-f(a)]b²/(b²-a²)=[b²f(a)-a²f(b)]/(b²-a²)
即g(a)=g(b),∴再由中值定理知存在ξ2∈(a,b),使得g'(ξ2)=0
即f'(ξ2)-2f'(ξ1)ξ2/(a+b)=0 => f'(ξ1)=f'(ξ2)(a+b)/2ξ2
再问： 完全看不懂
再问： 嗯再来个手写体的吧
再问： 谢谢你了大神
再答： 两次中值定理和构造合适函数
再问： 知道了，谢谢
再问：
再问： 这题怎么做呀？
再答： 先泰勒展开到二阶
e^x=1+x+x²/2+o(x²)，x->0+
√(1-x)=1-x/2-x²/8+o(x²)，x->0+
cos√x=1-x/2+x²/24+o(x²)，x->0+
然后代入原式得 [x²/2+o(x²)]/[-x²/6+o(x²)]
=[1/2+o(1)]/[-1/6+o(1)] -> (1/2)/(-1/6)=-3，(x->0+)
再记g(x)=f(x)-f'(ξ1)x²/(a+b)=f(x)-[f(b)-f(a)]x²/(b²-a²)
则g(a)=f(a)-[f(b)-f(a)]a²/(b²-a²)=[b²f(a)-a²f(b)]/(b²-a²)
g(b)=f(b)-[f(b)-f(a)]b²/(b²-a²)=[b²f(a)-a²f(b)]/(b²-a²)
即g(a)=g(b),∴再由中值定理知存在ξ2∈(a,b),使得g'(ξ2)=0
即f'(ξ2)-2f'(ξ1)ξ2/(a+b)=0 => f'(ξ1)=f'(ξ2)(a+b)/2ξ2
再问： 完全看不懂
再问： 嗯再来个手写体的吧
再问： 谢谢你了大神
再答： 两次中值定理和构造合适函数
再问： 知道了，谢谢
再问：
再问： 这题怎么做呀？
再答： 先泰勒展开到二阶
e^x=1+x+x²/2+o(x²)，x->0+
√(1-x)=1-x/2-x²/8+o(x²)，x->0+
cos√x=1-x/2+x²/24+o(x²)，x->0+
然后代入原式得 [x²/2+o(x²)]/[-x²/6+o(x²)]
=[1/2+o(1)]/[-1/6+o(1)] -> (1/2)/(-1/6)=-3，(x->0+)