搜搜做题作业网高中立体几何题一道（有图）
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/31 08:51:21
高中立体几何题一道（有图）
如图,底面ABCD为矩形,等边△FDC垂直于底面ABCD,E为BC上一点,P为底面ABCD外一点,PE⊥BC,PF⊥FC,异面直线PF与AD夹角的余弦值和异面直线PE与FC的夹角的余弦值相等
①求证PF=PE ②求∠FEC度数
此题用坐标系好证,还是几何法好证呢 两问
其实此题真正的原题是：已知底面ABCD为任意凸四边形，△FDC为任意锐角三角形，CF⊥BC，PE⊥FC，PE⊥BC，PF与BC夹角余弦值和PE与FC夹角余弦值相等，求以上两问
以上题是原题特殊化了的，这个才是取一般化的原题，如果上面那个还做不出的话，别提原题了
提示：夹角余弦值相等其实就是夹角角度相等，因为夹角度数在0~90°，所以确定的余弦值对应唯一角度，这回大侠们在帮帮忙，再看看这题吧
如图,底面ABCD为矩形,等边△FDC垂直于底面ABCD,E为BC上一点,P为底面ABCD外一点,PE⊥BC,PF⊥FC,异面直线PF与AD夹角的余弦值和异面直线PE与FC的夹角的余弦值相等
①求证PF=PE ②求∠FEC度数
此题用坐标系好证,还是几何法好证呢 两问
其实此题真正的原题是：已知底面ABCD为任意凸四边形，△FDC为任意锐角三角形，CF⊥BC，PE⊥FC，PE⊥BC，PF与BC夹角余弦值和PE与FC夹角余弦值相等，求以上两问
以上题是原题特殊化了的，这个才是取一般化的原题，如果上面那个还做不出的话，别提原题了
提示：夹角余弦值相等其实就是夹角角度相等，因为夹角度数在0~90°，所以确定的余弦值对应唯一角度，这回大侠们在帮帮忙，再看看这题吧
我只会几何法……简化的题目中的确很多条件用不着.简化题解法如下：
作辅助线连接经过P点,平行于AD, 并交CD延长线与G点,则四边形PECG也是矩形,则有PE=CG.连接GF,留意三角形PEG和三角形GFC.现在我们只需要证明这两个三角形全等,那么就立刻得到PF=CG=PE.
第一问：CD//PE,所以异面直线PE与FC的夹角=∠DCF,
同时PG//AD,所以异面直线PF与AD=∠PGF,则有∠PGF=∠DCF.已知PF⊥FC, BC垂直于面DCF,则FC⊥BC,所以FC垂直于两条相交直线,则FC垂直于面PFG,所以CF垂直于FG.根据共同边FG,可得三角形PEG和三角形GFC全等,所以有PF=CG=PE.第二问,根据那对全等三角形得CF=PG=CE,且BC⊥FC.可知三角形FEC是等腰直角三角形.
至于原版,思路不太一样,但是连接PC,证明三角形PFC和PCE全等看看?
再问： 请您详细叙述一下辅助线做法，我有些看不懂
再答： 画条平行于AD的线PG，与CD的延长线交于G点
再问： PG平行于AD，那么PG与AD的延长线异面，它们两怎么会交于一点G呢？
再答： PG与CD的延长线相交，不是AD... PG 和矩形ABCD在同一平面
再问： 那更奇怪了，P在矩形ABCD上方，是空间上的异面，您是不是把P点看做和矩形ABCD共面了？不是的，P在矩形ABCD上方，他们在空间上不在一个平面内
再答： 哦，看错了，不过所幸，P点在不在ABCD面上，情况都一样。还是做PG平行于BC，然后交面FCD于G点（这回不经过D点了）。连接CG，GF。首先，PG//BC，BC⊥FCD，得PG⊥FCD。所以PG⊥GC，则可以证明PGEC是矩形。PE//CG。然后也是证明三角形PGF和三角形FCG全等。
作辅助线连接经过P点,平行于AD, 并交CD延长线与G点,则四边形PECG也是矩形,则有PE=CG.连接GF,留意三角形PEG和三角形GFC.现在我们只需要证明这两个三角形全等,那么就立刻得到PF=CG=PE.
第一问：CD//PE,所以异面直线PE与FC的夹角=∠DCF,
同时PG//AD,所以异面直线PF与AD=∠PGF,则有∠PGF=∠DCF.已知PF⊥FC, BC垂直于面DCF,则FC⊥BC,所以FC垂直于两条相交直线,则FC垂直于面PFG,所以CF垂直于FG.根据共同边FG,可得三角形PEG和三角形GFC全等,所以有PF=CG=PE.第二问,根据那对全等三角形得CF=PG=CE,且BC⊥FC.可知三角形FEC是等腰直角三角形.
至于原版,思路不太一样,但是连接PC,证明三角形PFC和PCE全等看看?
再问： 请您详细叙述一下辅助线做法，我有些看不懂
再答： 画条平行于AD的线PG，与CD的延长线交于G点
再问： PG平行于AD，那么PG与AD的延长线异面，它们两怎么会交于一点G呢？
再答： PG与CD的延长线相交，不是AD... PG 和矩形ABCD在同一平面
再问： 那更奇怪了，P在矩形ABCD上方，是空间上的异面，您是不是把P点看做和矩形ABCD共面了？不是的，P在矩形ABCD上方，他们在空间上不在一个平面内
再答： 哦，看错了，不过所幸，P点在不在ABCD面上，情况都一样。还是做PG平行于BC，然后交面FCD于G点（这回不经过D点了）。连接CG，GF。首先，PG//BC，BC⊥FCD，得PG⊥FCD。所以PG⊥GC，则可以证明PGEC是矩形。PE//CG。然后也是证明三角形PGF和三角形FCG全等。