已知x,y是正整数,x≤2001,x^2+1=2y^2,求所有满足条件的正整数对(x,y).
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/17 02:24:32
已知x,y是正整数,x≤2001,x^2+1=2y^2,求所有满足条件的正整数对(x,y).
已知解为
1 1
7 5
41 29
239 169
1393 985
已知解为
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7 5
41 29
239 169
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这个叫负佩尔方程,把1变成-1的话就是佩尔方程.有一套详细的理论,这里符号也打不清楚,我就不细说了,你要是想了解更详细的理论自己搜一下吧.
对于这道题来讲大概是这样的,首先平方差公式(x-√2y)(x+√2y)=-1,两边取奇数次方,(x-√2y)^n(x+√2y)^n=-1,这里n是奇数
而注意到(x+√2y)^n = Xn+√2Yn(就是用二项式定理展开,然后把有根号的合并,这里Xn,Yn都是整数,n是下标),同理(x-√2y)^n=Xn-√2Yn(√2都来自奇数次项,负号也体现在奇数次项,所以直接Yn加负号就好)
因此上述等式转化为Xn^2 - 2Yn^2=-1,也就是说如果x,y是一组解,那么Xn,Yn也是一组解.注意n是奇数
这样你已经知道1,1是解了,那么(1+√2)^3=7+5√2,因此7和5是一组解,接下来(1+√2)^5=41+29√2,因此41和29是一组解
这样就得到了所有的解.
但是直接求n次方比较麻烦,所以可以考虑递推式(1+√2)^(n+2)=(1+√2)^n * (3+2√2) = (Xn+√2Yn)*(3+2√2)=(3Xn+4Yn) + (2Xn+3Yn)√2
所以Xn Yn的下一组解是3Xn+4Yn和2Xn+3Yn
对于这道题来讲大概是这样的,首先平方差公式(x-√2y)(x+√2y)=-1,两边取奇数次方,(x-√2y)^n(x+√2y)^n=-1,这里n是奇数
而注意到(x+√2y)^n = Xn+√2Yn(就是用二项式定理展开,然后把有根号的合并,这里Xn,Yn都是整数,n是下标),同理(x-√2y)^n=Xn-√2Yn(√2都来自奇数次项,负号也体现在奇数次项,所以直接Yn加负号就好)
因此上述等式转化为Xn^2 - 2Yn^2=-1,也就是说如果x,y是一组解,那么Xn,Yn也是一组解.注意n是奇数
这样你已经知道1,1是解了,那么(1+√2)^3=7+5√2,因此7和5是一组解,接下来(1+√2)^5=41+29√2,因此41和29是一组解
这样就得到了所有的解.
但是直接求n次方比较麻烦,所以可以考虑递推式(1+√2)^(n+2)=(1+√2)^n * (3+2√2) = (Xn+√2Yn)*(3+2√2)=(3Xn+4Yn) + (2Xn+3Yn)√2
所以Xn Yn的下一组解是3Xn+4Yn和2Xn+3Yn
若x,y是正整数,且2的x次方×2的y次方=32,求满足条件的所有x,y的值.
已知x和y是正整数,并且满足条件xy+x+y=71,x^2y +xy^2=880,求x^2+y^2的值
已知正整数XY满足条件2/X+1/Y=a(其中,a是正整数,且X小于Y)求XY
已知x、y是正整数,且满足3x+2y=17.试求x、y的值.
已知正整数x,y满足2∧x 49=y,求x,y值
麻烦解下题:已知正整数x,y满足条件2/x+1/y=a[其中,A是正整数,且X
求满足下列条件的所有正整数解3x+2y-z=4,2x-y+2z=6,x+y+z<7
正整数x,y满足x2-y2=2xy,求x-y/x+y的值
①:若x.y为正整数,且2的x次方乘2的y次方=32,求满足条件的正整数x,y
已知x和y是正整数,且满足xy+x+y=71,x^2+xy^2=880求x^2+y^2的值
已知x,y是正整数,并且满足条件xy+x+y+1=71,x²y+xy²=880,求x²+y
已知x,y都为正整数,且x*x+y*y/2=1,求x*x*(1+y*y)开根号后的最大值.