只答第六题
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/07 00:59:39
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解题思路: 主要考查你对 函数的最值与导数的关系,函数的零点与方程根的联系,函数的单调性与导数的关系 等考点的理解。
解题过程:
解:(1)因为f′(x)=(2x﹣3)ex+(x2﹣3x+3)ex,
由f′(x)>0
x>1或x<0,
由f′(x)<0
0<x<1,
∴函数f(x)在(﹣∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
要使函数f(x)在[﹣2,t]上为单调函数,则﹣2<t≤0,
(2)因为函数f(x)在(﹣∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
所以f(x)在x=1处取得极小值e,
又f(﹣2)=13e﹣2<e,
所以f(x)在[2,+∞)上的最小值为f(﹣2),
从而当t>﹣2时,f(﹣2)<f(t),即m<n,
(3)证:∵
,
∴
,即为x02﹣x0=
,
令g(x)=x2﹣x﹣
,
从而问题转化为证明方程g(x)=
=0在(﹣2,t)上有解并讨论解的个数,因为g(﹣2)=6﹣
(t﹣1)2=﹣
,
g(t)=t(t﹣1)﹣
=
,
所以当t>4或﹣2<t<1时,g(﹣2)·g(t)<0,
所以g(x)=0在(﹣2,t)上有解,且只有一解,
当1<t<4时,g(﹣2)>0且g(t)>0,
但由于g(0)=﹣
<0,所以g(x)=0在(﹣2,t)上有解,且有两解,
当t=1时,g(x)=x2﹣x=0,解得x=0或1,
所以g(x)=0在(﹣2,t)上有且只有一解,
当t=4时,g(x)=x2﹣x﹣6=0,
所以g(x)=0在(﹣2,t)上也有且只有一解,
综上所述,对于任意的t>﹣2,总存在x0∈(﹣2,t),
满足
,
且当t≥4或﹣2<t≤1时,有唯一的x0适合题意,
当1<t<4时,有两个x0适合题意.
解题过程:
解:(1)因为f′(x)=(2x﹣3)ex+(x2﹣3x+3)ex,
由f′(x)>0
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由f′(x)<0
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∴函数f(x)在(﹣∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
要使函数f(x)在[﹣2,t]上为单调函数,则﹣2<t≤0,
(2)因为函数f(x)在(﹣∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
所以f(x)在x=1处取得极小值e,
又f(﹣2)=13e﹣2<e,
所以f(x)在[2,+∞)上的最小值为f(﹣2),
从而当t>﹣2时,f(﹣2)<f(t),即m<n,
(3)证:∵
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∴
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令g(x)=x2﹣x﹣
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从而问题转化为证明方程g(x)=
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/c7/fc757f71c957aa7738c582b75b67c88b.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/5d/95dda32bb6f1f3e0fc7e58841c8a981b.png)
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g(t)=t(t﹣1)﹣
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所以当t>4或﹣2<t<1时,g(﹣2)·g(t)<0,
所以g(x)=0在(﹣2,t)上有解,且只有一解,
当1<t<4时,g(﹣2)>0且g(t)>0,
但由于g(0)=﹣
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当t=1时,g(x)=x2﹣x=0,解得x=0或1,
所以g(x)=0在(﹣2,t)上有且只有一解,
当t=4时,g(x)=x2﹣x﹣6=0,
所以g(x)=0在(﹣2,t)上也有且只有一解,
综上所述,对于任意的t>﹣2,总存在x0∈(﹣2,t),
满足
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且当t≥4或﹣2<t≤1时,有唯一的x0适合题意,
当1<t<4时,有两个x0适合题意.