一道圆锥曲线题点P与点F(2,0)的距离比他到直线x+4=0的距离小2,若记点P的轨迹为曲线C,(1)求曲线C的方程(不
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 13:56:58
一道圆锥曲线题
点P与点F(2,0)的距离比他到直线x+4=0的距离小2,若记点P的轨迹为曲线C,
(1)求曲线C的方程(不用求了,是y²=8X
(2)若直线l与曲线C相交于A,B ,且OA垂直OB,求证直线l过定点,并求出坐标
点P与点F(2,0)的距离比他到直线x+4=0的距离小2,若记点P的轨迹为曲线C,
(1)求曲线C的方程(不用求了,是y²=8X
(2)若直线l与曲线C相交于A,B ,且OA垂直OB,求证直线l过定点,并求出坐标
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(2).设直线I方程为 y=kx+b
与曲线C方程联立得:
(kx)^2+2kbx+b^2=8x
k^2x^2+(2kb-8)x+b^2=0
△=(2kb-8)^2-4k^2b^2>0
x1+x2=(8-2kb)/k^2
x1x2=b^2/k^2
y1y2=(kx1+b)(kx2+b)
=k^2(x1x2)+kb(x1+x2)+b^2
=2b^2+b(8-2kb)/k
直线 OA的斜率为 y1/x1
直线 OB的斜率为 y2/x2
因为 OA⊥OB
所以 y1y2/x1x2=-1
y1y2=-x1x2
即 b^2/k^2=2b^2+b(8-2kb)/k
b^2=2k^2b^2+kb(8-2kb)
b^2=8kb
-8k+b=0
所以 直线 I 过定点(-8,0)
与曲线C方程联立得:
(kx)^2+2kbx+b^2=8x
k^2x^2+(2kb-8)x+b^2=0
△=(2kb-8)^2-4k^2b^2>0
x1+x2=(8-2kb)/k^2
x1x2=b^2/k^2
y1y2=(kx1+b)(kx2+b)
=k^2(x1x2)+kb(x1+x2)+b^2
=2b^2+b(8-2kb)/k
直线 OA的斜率为 y1/x1
直线 OB的斜率为 y2/x2
因为 OA⊥OB
所以 y1y2/x1x2=-1
y1y2=-x1x2
即 b^2/k^2=2b^2+b(8-2kb)/k
b^2=2k^2b^2+kb(8-2kb)
b^2=8kb
-8k+b=0
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