求证:Cmn(组合)(m=1~n) 当且仅当n=2^k-1(k为正整数)时全部为奇数

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/09 15:37:29

求证:Cmn(组合)(m=1~n) 当且仅当n=2^k-1(k为正整数)时全部为奇数
Cmn(组合,因为不能打上下标只能这样了。)(m=1~n) 当且仅当n=2^k-1(k为正整数)时全部为奇数

只想到一种方法,思路很简单,但过程有些繁琐,某些步骤没写清楚的话pm我就是了.
通过组合数公式,可以知道这个命题相当于证明：对于任意m属于1到n-1都有Cmn为偶数当且仅当n=2^k.
首先,假设n=2^k*C,C为奇数且不为1.取m=2^k.
Cmn=n!/m!(n-m)!.Cmn里2的次数为
p(2)=求和[n/2^P]-求和[m/2^P]-求和[(n-m)/2^P].每个求和都是p从1到正无穷,但因为有取整符号在,所以其实是有限项的和.
用k表示n和m,然后把每一个求和分成p从1到k,以及p>k.具体过程就不写了,写出来也看不清.
化简后最后剩下
p(2)=([C/2]+[C/4]+...)-([(C-1)/2]+[(C-1)/4]+...).
因为C是奇数,所以对应的项抵消,p(2)=0.
因此Cmn为奇数.这就证明了n=2^k是必要条件.
另一方面,因为C24、C14和C34都是偶数,所以只要证明对于Cmn整除Cm(2n),就能利用对k归纳,证明对于n=2^k,m从1到n-1,Cmn永远是偶数.
两者相除,并设l=n-m,得到(2n)!*l!/(n!*(m+l)!).
考虑这个式子里质数p的次数,就有
p(p)=求和[2n/p^s]+求和[l/p^s]-求和[n/p^s]-求和[(n+l)/p^s].
这里是关于s求和.
要证明p(p)>=0,只需证明对于任意s,[2n/p^s]+[l/p^s]-[n/p^s]-[(m+l)/p^s]>=0即可.
设n/p^s=a,l/p^s=b,化简成
[2a]+[b]-[a]-[a+b],并且a>=b.
显然可以假设a,b都属于[0,1],否则减去整数部分.
这样就变成[2a]-[a+b].因为2a>=a+b,所以原式大于等于0.
这样就证明了对于任意p,p(p)>=0,也就是说Cmn整除Cm(2n).
因此对于n=2^k,m不等于0或n,利用Cmn=C(n-m)n,可以将Cmn化成C41或C42的倍数,这就说明Cmn为偶数.
这样,n=2^k的充分性也得到证明,全部证明完成.

证明当k为正整数时lim(n→∞)(1+k/n)^n=e^k 定义一种对正整数N的“F运算”：1、当N为奇数时,结果为3N+5.2、当N为偶数时,结果为N/2^K（其中K是使N/2^ 定义一种对正整数n的“F运算”①当n为奇数时,结果为3n+5②当n为偶数时,结果为2^k/n（其中k为使2^k/n为奇数递推数列证明数列｛an｝中an=3^n-(-2)^n (1)求证;当K为奇数时,(1/ak)+(1/ak+1) 当n为正奇数时，求证xn+yn被x+y整除，当第二步假设n=2k-1时命题为真，进而需验证n=______，命题为真．数列｛an}为等差数列，公差d≠0，且akx2+ak+1x+ak+2=0(k∈N*) (1)求证：当k取不同正整数时，此定义一种对正整数n的“ F运算”：（1）当n为奇数是,记过为3n+5;(2)当n为偶数时,结果为n/（2的k次方)"其中定义一种对正整数n的“F‘ 运算：1.当n为奇数时,结果为3n+5；2.当n为偶数时,结果为n\2k（其中k是使n＼2k 定义一种对正整数n的“F”的运算：①当n为奇数时,结果为3n+5；②当n为偶数时,结果为n/2^k（其中k是使n/2^k 定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时,结果为3n+5；②当n为偶数时,结果是n/2的k次方（k是使n/2的k次定义一种对正整数n的"F"运算1.当n为奇数时,结果为3n+5；2.当n为偶数时,结果为n/2k（2的k次方）（其中k是 a,b,k为大于2的正整数a^k mod (k+1)=n;b^k mod (k+1)=m; 证明 n*m mod (k+