已知函数f(x)＝1nx+x−ax(a≥−2)，g(x)＝ex−x，其中e为自然对数的底数，且当x＞0时f（x）≥3恒成

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/16 23:44:14

已知函数f(x)＝1nx+x−

(a≥−2)，g(x)＝e

（Ⅰ）g'（x）=e^x-1，g'（x）＜0⇒x＜0，g'（x）＞0⇒x＞0，
∴g（x）的减区间是（-∞，0），增区间是（0，+∞）．
（Ⅱ）f(x)＝lnx+x−
a
x≥3恒成立，即
a
x≤lnx+x−3，
∵x＞0，∴a≤xlnx+x²-3x恒成立．
设h（x）=xlnx+x²-3x，（x＞0），h'（x）=lnx+2x-2，
由于h'（x）在（0，+∞）上是增函数，且h'（1）=0，
∴x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数，x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数，
∴h（x）_min=h（1）=-2，从而若a≤xlnx+x²-3x恒成立，必有a≤-2．
又∵a≥-2，
∴a的取值集合为{-2}．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，g（x）≥g（0）=1，即e^x-x≥1，当且仅当x=0时等号成立，
∴x＞0时，有e^x＞x+1．
∴f(x)+g(x)＝lnx+ex+
2
x＞lnx+x+1+
2
x，
设F(x)＝lnx+x+1+
2
x(x＞0)，
则F′(x)＝
1
x+1−
2
x2＝
x2+x−2
x2＝
(x+2)(x−1)
x2，
当x∈（0，1）时，F'（x）＜0，F（x）是减函数，
当x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，F（x）是增函数，
∴F（x）≥F（1）=4，
即f（x）+g（x）＞4成立．