抛物线x2=-2y中斜率为2的平行弦（动弦）的中点的轨迹方程是 ______．

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/01 05:58:37

抛物线x²=-2y中斜率为2的平行弦（动弦）的中点的轨迹方程是 ______．

设直线方程为y=2x+b
设两个交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）联立抛物线x²=-2y与直线方程y=2x+b，
消去y，可得x²+4x+2b=0△=16-4•1•2b＞0∴b＜2 ①
另根据韦达定理有：x₁+x₂=-4 ②
而A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在直线y=2x+b上，可分别代入得到：y₁=2x₁+b y₂=2x₂+b
∴y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2b将②代入上式，可得：y₁+y₂=2b-8 ③
设AB的中点M（x，y），可根据中点坐标公式表示为：x=
x1+x2
2
y=
y1+y2
2 分别将②，③代入，可得：x=-2 y=b-4
由条件①：b＜2，可得：y=b-4＜2-4＜-2
∴M点（即动弦AB中点）的轨迹方程时：x=-2这条直线位于y=-2之下的部分，
即轨迹方程x+2=0（y＜-2）
故答案为：x+2=0（y＜-2）

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