设函数y=f(x)=a*x+1/(x+b)(a≠0)的图像过点（0,-1）且与直线y=-1有且只有一个公共点：

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/11 18:57:14

设函数y=f(x)=a*x+1/(x+b)(a≠0)的图像过点（0,-1）且与直线y=-1有且只有一个公共点：
设点P(x.,y.)是函数y=f(x)图像上任意一点,过点P分别作直线y=x和直线y=1的垂线,垂足分别是M,N.
1.求y=f(x)的解析式
2.证明：曲线y=f(x)的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心Q
3.证明：线段PM,PN长度的乘积PM*PN为定值：并用点P横坐标x.表示四边形QMPN的面积
（注：写详细过程（尤其是第2,3题）.其中,“x.”的“.”为0）

/>1）y=f(x)=a*x+1/(x+b)(a≠0)的图像过点（0,-1）,将此点代入得-1=a*0+1/(0+b),b=-1
又因为与直线y=-1有且只有一个公共点,也就是(0,-1)这个点,则代入后解方程：
-1=a*x+1/(x-1),通过通分移项整理方程得到ax²-(a-1)x=0,x(ax-a+1)=0
要想方程成立则x=0,ax-a+1=0,后式中x一定为0,解得a=1,所以y=f(x)=x+1/(x-1)
2）通过y=f(x)=x+1/(x-1),它是由y=x和y=1/(x-1)合成,而y=1/(x-1)是双曲线,且具有中心对称性,因此此图像合成后也具有中心对称性.此图像定义域是x≠1,在x=1附近取距离相等的两个点x=0和x=2,计算出y=-1和y=3,求过(0,-1)和(2,3)的直线,求中点坐标就是Q点(1,1)
3）根据点P(x,y)到直线y=x的距离公式：PM=|x-y|/√2,根据两点P(x,y)N(x,1)间的距离公式：PN=|y-1|,所以PM*PN=|x-y||y-1|/√2=[(x-1)²+1]/[√2(x-1)²]=[1+1/(x-1)²]/√2
通过作图,可得到四边形QMPN由两个三角形组成,即△PMN和△PNQ
四个点的坐标为P(x,y)、Q(1,1)、M(x1,x1)、N(x,1),这里只有M点有未知数,先求之
(x-y)²/2=(x1-x)²+(x1-y)²,得4x1²-4x1(x+y)+x²+y²+2xy=0,整理4x1²-4x1(x+y)+(x+y)²=0
2x1-(x+y)=0,所以x1=(x+y)/2
S(△PNQ)=PN*NQ/2=|(x-1)(y-1)|/2=[(x-1)²+1]/2
边M作垂直PN的直线交PN于R,而MR=|x1-x|
S(△PMN)=PN*MR/2=|(y-1)(x+y-x)|/2=[x(x-1)+x/(x-1)+1/(x-1)²]/2
四边形QMPN的面积=S(△PNQ)+S(△PMN)=[(x-1)²+1]/2+[x(x-1)+x/(x-1)+1/(x-1)²]/2
整理过程自己实现吧

y=f(x)=ax+1/(x+b)(a≠0)的图像过点(0,-1)且与直线y=-1有且只有一个公共点,设点P(XO,YO 过点A(0,3)且与双曲线x^2/4-y^2/9=1有且只有一个公共点的直线的方程关于x的函数y=ax²-ax+3x+1的图像与x轴有且只有一个公共点,求a点关于x的函数y=ax-ax+3x+1的图像与x轴有且只有一个公共点,求a点已知函数f(x)=x^3-ax(a>1),直线y=a-1与y=f(x)的图像有且只有两个公共点,求a的值、已知f(x)=|a^x-1|(a>0且a≠1).若直线y=2a与函数f(x)的图像有两个公共点,求a的取值范围已知抛物线y^2=2x,点A(0,1),求过点A且与抛物线只有一个公共点的直线方程已知二次函数y=-x²-2x+a的图像与x轴有且只有一个公共点（1）二次函数y=-x²-2x+a图像已知x,a属于R,a大于1,直线y=x与函数f（x)=logax有且只有一个公共点,求a.和公共点坐标. 已知函数f(x)=x^3-3ax+b,在x=0处的切线方程为3ax+y-2a=0且y=f(x)与x轴有且只有一个公共点, 以知函数y=|2^X-1|与直线y=a有且只有一个公共点,则a的取值范围是设函数f(x)=x^2-alnx与g(x)=(1/a)x-√x的图像分别交直线x=1于点A、B,且曲线y=f(x)在点A