（2013•巴中）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（-1，0），以AB的中点P为

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/14 23:01:42

（2013•巴中）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（-1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；
（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；
（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

（1）连接PC，
∵A（4，0），B（-1，0），
∴AB=5，半径PC=PB=PA=
5
2，
∴OP=
5
2-1=
3
2，
在△CPO中，由勾股定理得：OC=
CP2−OP2=2，
∴C（0，2），
设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x-4）（x+1），
把C（0，2）代入得：2=a（0-4）（0+1），
∴a=-
1
2，
∴y=-
1
2（x-4）（x+1）=-
1
2x²+
3
2x+2，
答：经过A、B、C三点抛物线解析式是y=-
1
2x²+
3
2x+2．

（2）y=-
1
2x²+
3
2x+2=-
1
2(x−
3
2)2+
25
8，
M（
3
2，
25
8），
设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，
把C（0，2），M（
3
2，
25
8）代入得：