定义:对于平面直角坐标系中的任意线段AB及点P,任取线段AB上一点Q,线段PQ长度的最小值称为点P到线段AB的距离,记作
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/14 21:08:46
定义:对于平面直角坐标系中的任意线段AB及点P,任取线段AB上一点Q,线段PQ长度的最小值称为点P到线段AB的距离,记作d(P→AB).
已知O为坐标原点,A(4,0),B(3,3),C(m,n),D(m+4,n)是平面直角坐标系中四点.根据上述定义,解答下列问题:
(1)点A到线段OB的距离d(A→OB)=
已知O为坐标原点,A(4,0),B(3,3),C(m,n),D(m+4,n)是平面直角坐标系中四点.根据上述定义,解答下列问题:
(1)点A到线段OB的距离d(A→OB)=
2
2 |
(1)作AC⊥OB于C,
∴∠ACO=90°.
∵B(3,3),
∴OB平分∠xOy,
∴∠AOB=45°.
∴∠OAC=45°,
∴∠OAC=∠AOC,
∴AC=OC.
∵A(4,0),
∴OA=4.
在Rt△AOC中,由勾股定理,得
AC=2
2.
∴点A到线段OB的距离d(A→OB)=2
2.
故答案为:2
2;
(2)∵OB平分∠xOy,
∴OB的解析式为:y=x
∵点G的横坐标为1,
∴点G在直线x=1上,设直线x=1交x轴于点H,交OB于点K.
①如图,过点G1作G1F⊥OB于点F,则G1F就是点G1到线段OB的距离.
∵OB的解析式为:y=x,
∴△G1FK,△DHK均为等腰直角三角形,
∵d(G1→OB)=
5,
∴KF=
5,由勾股定理得GK=
10,
∵KH=OH=1,
∴HG1=
10+1.
即G1的纵坐标为
10+1;
②如图,过点D作G2D⊥OB交直线x=1于点G2,由题意知△DKG2为等腰直角三角形,
∵d(G2→OB)=
5,
∴DK=DG2=
5,
∴G2K=
10.
∴G2H=
10−1<0
∴点G2同样是不满足条件的点.
综上,点G的纵坐标为1+
10.
(3)①如图(3),当点C在以A为圆心,半径为2的⊙A的右半圆上时,点M在圆弧M1FM4上运动;
当点C从C1到C2时,点M在线段M1M2上运动;
当点C从C4到C3时,点M在线段M4M3上运动;
当点D在以A为圆心,半径为2的⊙A的左半圆上时,点M在圆弧M2OM3上运动;
∴点M随线段CD运动所围成的封闭图形是图中实线部分,面积为16+4π.
②存在.
图(4)由A(4,0),E(0,2),得
OE
OA=
2
4=
1
2.
( i)当点M位于左侧圆弧上时,m≤0,不合题意;
( ii)如图(4),当点M位于线段M1M2上时,
∵MH=2,∴只要AH=1,就有△AOE∽△MHA,
此时OH1=5,OH2=3.
∵点M为线段CD的中点,CD=4,
∴OH1=5时,m=3;OH2=3时,m=1.
( iii)如图(5),当点M位于右侧圆弧M1FM4上时,连结GM,其中点G是圆弧的圆心,坐标为(6,0).
图(5)设MH3=x,∵AH3>M3H3
∴AH3=2x,∴GH3=2x-2,又GM=2,
在Rt△MGH3中,由勾股定理得:(2x-2)2+x2=22,
解得x1=
8
5,x2=0(不合题意,舍去),
此时AH3=
16
5,OH3=OA+AH3=
36
5,
∵点M为线段CD的中点,CD=4,∴m=
26
5.
综上所述,存在m=1或m=3或m=
26
5,使得以A、M、H为顶点的三角形与△AOE相似.
∴∠ACO=90°.
∵B(3,3),
∴OB平分∠xOy,
∴∠AOB=45°.
∴∠OAC=45°,
∴∠OAC=∠AOC,
∴AC=OC.
∵A(4,0),
∴OA=4.
在Rt△AOC中,由勾股定理,得
AC=2
2.
∴点A到线段OB的距离d(A→OB)=2
2.
故答案为:2
2;
(2)∵OB平分∠xOy,
∴OB的解析式为:y=x
∵点G的横坐标为1,
∴点G在直线x=1上,设直线x=1交x轴于点H,交OB于点K.
①如图,过点G1作G1F⊥OB于点F,则G1F就是点G1到线段OB的距离.
∵OB的解析式为:y=x,
∴△G1FK,△DHK均为等腰直角三角形,
∵d(G1→OB)=
5,
∴KF=
5,由勾股定理得GK=
10,
∵KH=OH=1,
∴HG1=
10+1.
即G1的纵坐标为
10+1;
②如图,过点D作G2D⊥OB交直线x=1于点G2,由题意知△DKG2为等腰直角三角形,
∵d(G2→OB)=
5,
∴DK=DG2=
5,
∴G2K=
10.
∴G2H=
10−1<0
∴点G2同样是不满足条件的点.
综上,点G的纵坐标为1+
10.
(3)①如图(3),当点C在以A为圆心,半径为2的⊙A的右半圆上时,点M在圆弧M1FM4上运动;
当点C从C1到C2时,点M在线段M1M2上运动;
当点C从C4到C3时,点M在线段M4M3上运动;
当点D在以A为圆心,半径为2的⊙A的左半圆上时,点M在圆弧M2OM3上运动;
∴点M随线段CD运动所围成的封闭图形是图中实线部分,面积为16+4π.
②存在.
图(4)由A(4,0),E(0,2),得
OE
OA=
2
4=
1
2.
( i)当点M位于左侧圆弧上时,m≤0,不合题意;
( ii)如图(4),当点M位于线段M1M2上时,
∵MH=2,∴只要AH=1,就有△AOE∽△MHA,
此时OH1=5,OH2=3.
∵点M为线段CD的中点,CD=4,
∴OH1=5时,m=3;OH2=3时,m=1.
( iii)如图(5),当点M位于右侧圆弧M1FM4上时,连结GM,其中点G是圆弧的圆心,坐标为(6,0).
图(5)设MH3=x,∵AH3>M3H3
∴AH3=2x,∴GH3=2x-2,又GM=2,
在Rt△MGH3中,由勾股定理得:(2x-2)2+x2=22,
解得x1=
8
5,x2=0(不合题意,舍去),
此时AH3=
16
5,OH3=OA+AH3=
36
5,
∵点M为线段CD的中点,CD=4,∴m=
26
5.
综上所述,存在m=1或m=3或m=
26
5,使得以A、M、H为顶点的三角形与△AOE相似.
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