搜搜做题作业网一道关于相似的数学几何题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/03 15:43:15
一道关于相似的数学几何题
已知△ABC中,D为AB边的中点,G为CD的中点,过点G的直线分别交AC、BC于点P、Q,设CP/CA=m,CQ/CB=n,求1/m+1/n的值
已知△ABC中,D为AB边的中点,G为CD的中点,过点G的直线分别交AC、BC于点P、Q,设CP/CA=m,CQ/CB=n,求1/m+1/n的值
过P作PE∥AB交CD于E、过Q作QF∥BA交CD于F.
∵FQ∥DB,∴△CFQ∽△CDB,∴CF/CD＝FQ/DB＝CQ/CB＝n,∴CF＝nCD,FQ＝nDB.
∵PE∥AD,∴△CPE∽△CAD,∴CE/CD＝PE/AD＝CP/CA＝m,∴CE＝mCD,PE＝mAD.
由CF＝nCD、CE＝mCD,得：CF/CE＝n/m,∴（CE－CF）/CE＝（n－m）/m,
∴EF/CE＝（n－m）/m,∴EF＝（n－m）CE/m＝（n－m）mCD/m＝（n－m）CD.
由FQ＝nDB、PE＝mAD,结合AD＝DB,得：FQ/PE＝n/m.
由FQ∥AB、PE∥AB,得：FQ∥PE,∴△QGF∽△PGE,∴GF/GE＝FQ/PE＝n/m,
∴GF/（GF＋GE）＝n/（m＋n）,∴（CG－CF）/EF＝n/（m＋n）.
由EF＝（n－m）CD、CF＝nCD、CG＝CD/2、（CG－CF）/EF＝n/（m＋n）,得：
（CD/2－nCD）/［（n－m）CD］＝n/（m＋n）,∴（1/2－n）/（n－m）＝n/（m＋n）,
∴（m＋n）/2－mn－n^2＝n^2－mn,∴（m＋n）/2＝2mn,∴（m＋n）/（mn）＝1/4,
∴1/m＋1/n＝1/4.
∵FQ∥DB,∴△CFQ∽△CDB,∴CF/CD＝FQ/DB＝CQ/CB＝n,∴CF＝nCD,FQ＝nDB.
∵PE∥AD,∴△CPE∽△CAD,∴CE/CD＝PE/AD＝CP/CA＝m,∴CE＝mCD,PE＝mAD.
由CF＝nCD、CE＝mCD,得：CF/CE＝n/m,∴（CE－CF）/CE＝（n－m）/m,
∴EF/CE＝（n－m）/m,∴EF＝（n－m）CE/m＝（n－m）mCD/m＝（n－m）CD.
由FQ＝nDB、PE＝mAD,结合AD＝DB,得：FQ/PE＝n/m.
由FQ∥AB、PE∥AB,得：FQ∥PE,∴△QGF∽△PGE,∴GF/GE＝FQ/PE＝n/m,
∴GF/（GF＋GE）＝n/（m＋n）,∴（CG－CF）/EF＝n/（m＋n）.
由EF＝（n－m）CD、CF＝nCD、CG＝CD/2、（CG－CF）/EF＝n/（m＋n）,得：
（CD/2－nCD）/［（n－m）CD］＝n/（m＋n）,∴（1/2－n）/（n－m）＝n/（m＋n）,
∴（m＋n）/2－mn－n^2＝n^2－mn,∴（m＋n）/2＝2mn,∴（m＋n）/（mn）＝1/4,
∴1/m＋1/n＝1/4.