如图,等腰梯形ABC中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°M是BC的中点.1）求证：△MDC是等边三角形.

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/28 21:31:34

如图,等腰梯形ABC中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°M是BC的中点.1）求证：△MDC是等边三角形.
2）将△MDC绕点M旋转,当MD（即MD'）与AB交于一点E,MC（即MC'）同时与AD交于一点F时,点E、F和点A构成△AEF.
试探究△AEF的周长是否存在最小值?如果不存在,请说明理由.
如果存在,请计算出△AEF周长的最小值,△AEF的面积有最大值或最小值吗?

1.连接BD,
∵在等腰梯形ABCD中,∠C=60°
∴∠B=∠C=60°
∵AD∥BC
∴∠A=120°
∵AD=AB=CD=2
∴∠ABD=∠ADB=30°
∴∠CBD=30°,∠BDC=90°
∵M是BC的中点
∴DM=CM=BM
∵∠C=60°
∴ΔMDC是等边三角形
2.
△AEF的周长存在最小值,理由如下：
连接AM,由（1）平行四边形ABMD是菱形,
△MAB,△MAD和△MC′D′是等边三角形,
∠BMA=∠BME+∠AME=60°,∠EMF=∠AMF+∠AME=60°,
∴∠BME=∠AMF,
在△BME与△AMF中,BM=AM,∠EBM=∠FAM=60°,
∴△BME≌△AMF（ASA）,
∴BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB,
∵∠EMF=∠DMC=60°,故△EMF是等边三角形,EF=MF,
∵MF的最小值为点M到AD的距离√3,即EF的最小值是√3,
△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,
△AEF的周长的最小值为2+√3,
面积没有最小值,有最大值：S=√3×1/2÷2=√3/4
答：存在,△AEF的周长的最小值为2+√3．面积没有最小值,有最大值
如果本题有什么不明白可以追问,

如图已知等腰梯形ABCD中,AD平行BC,M是AB的中点,DM垂直CM.求证:CD=AD+BC 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，BC=2AB，求证：四边形ABCD是等腰梯形．如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,且AC⊥BD,CH是AB上的高,求证AB+CD=2CH 如图在梯形ABCD中,AD平行于BC,E是CD的中点,且BE平分∠ABC.求证AB=AD+BC 已知：如图,梯形ABCD中,AD//BC,E是CD的中点,且BE平分∠ABC,求证：AB=AD+BC 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，AB+CD=AD，求证：如图,在梯形ABCD中,AD//BC,M是CD的中点,AB=AD+BC,角DAM=50°,求角ABC的大小如图，梯形ABCD，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点．求证：在梯形ABCD中,AD//BC,∠B+∠C=90°,M、N分别是AD、BC的中点.求证：MN=1/2 (BC-AD) 如图,在梯形ABCD中,AD\\BC,点E,F分别是AB,CD的中点,求证EF=1\2(AD+BC) 在梯形ABCD中,AD平行BC,M是AB的中点,DM垂直CM.求证:CD=AD+BC 如图,已知在梯形ABCD中,AD‖BC,M是AB的中点,DM⊥CM.求证:CD=AD+BC