求证(a^2+bc)/a(b+c)+(b^2+ac)/b(a+c)+(c^2+ab)/c(a+b)≥3

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/27 20:36:25

求证(a^2+bc)/a(b+c)+(b^2+ac)/b(a+c)+(c^2+ab)/c(a+b)≥3
a、b、c都为正数,求证上不等式成立

可以分成两个不等式来证:
a²/(a(b+c))+b²/(b(c+a))+c²/(c(a+b)) = a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) ≥ 3/2.
与bc/(a(b+c))+ca/(b(c+a))+ab/(c(a+b)) = bc/(ca+ab)+ca/(ab+bc)+ab/(bc+ca) ≥ 3/2.
注意到第二个不等式若换元x = bc, y = ca, z = ab, 则变为x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y) ≥ 3/2.
因此只需证明第一个不等式.
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)
= (a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)+(a+b+c)/(a+b)-3
= (a+b+c)(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b))-3
= 1/2·((b+c)+(c+a)+(a+b))(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b))-3
≥ 1/2·(1+1+1)²-3 (Cauchy不等式)
= 3/2.

已知a,b,c∈R,求证(a+b+c)^2≥(ab+bc+ac) 求证：(2a-b-c/a^2-ab-ac+bc)+(2b-c-a/b^2-bc-ab+ac)+(2c-a-b/c^2-a 已知a,b,c都是实数,求证:a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2≥ab+bc+ac 已知a,b,c为正数求证:(a^3/bc)+(b^3/ac)+(c^3+ab)≥a+b+c a,b,c是三角形的三边,求证：bc/(b+c-a)+ac/(a+c-b)+ab/(a+b-c)≥a+b+c 计算： ab/(b-c)(c-a)+bc/(a-b)(c-a)+ac/(a-b)(b-c) 已知a,b,c∈R+,求证:ab+bc+ca=3abc.求证ab/a+b + bc/b+c + ca/c+a≥3/2 急已知a,b,c∈R,求证:a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac 计算a^2-bc/(a+b)(a+c)+b^2-ac/(b+c)(b+a)+c^2-ab/(c+a)(c+b) 已知a+b+c=0,求a*a/(2a*a+bc)+b*b/(2b*b+ac)+c*c/(2c*c+ab) 已知a.b.c>0 求证a^ab^bc^c≥(abc)^a+b+c/3 已知a,b,c,∈R+.求证bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c