证明f(x)=(1 t^3)^(1 2)的积分的导数在(-1,)

调换一下积分次序即可.对式子左边先对x积分,后对t积分,则为∫[∫f(t)dx]dt.前面第一个积分符号积分区间是[0,1],第二个积分符号积分区间是[t,1].f(t)对先x积分得到的结果就是f(t

①：F(t)=∫(1→t)dy∫(y→t)ƒ(x)dx交换积分次序：从Y型区域变为X型区域y∈[1,t]==>y∈[1,x]x∈[y,t]==>x∈[1,t]F(t)=∫(1→t)dx∫(1

F(x)=∫[0,x](2t-x)f(t)dt=∫[0,x]2tf(t)dt-x*∫[0,x]f(t)dtF(-x)=∫[0,-x]2tf(t)dt+x*∫[0,-x]f(t)dt换元,令u=-t,d

对于任意的x来说都有f(x+2T)=1/f(x+T)=1/[1/f(x)]=f(x)成立,所以f(x)是周期为2T的周期函数.

嘿嘿.

证明：设3≤x1＜x2≤5，∵f（x1）-f（x2）=3x1+1-3x2+1=3(x2+1)−3(x1+1)(x1+1)(x2+1)=3(x2−x1)(x1+1)(x2+1)，x2-x1＞0，x1+1

∫(0,x)(x-t)f(t)dt=1-cosx即为x∫(0,x)f(t)dt--∫(0,x)tf(t)dt=1-cosx求导有∫(0,x)f(t)dt+xf(x)--xf(x)=sinx令x=π/2

第一题证明:1)因为f(x)=x(1/(2^x-1)+1/2),分母不能为0,所以x≠02)化简f(x)得f(x)=(x/2)*((2^x+1)/(2^x-1))3)当x>0时,(2^x)>1,所以(

x+t=udx=duF(x)=∫(0,1)f(x+t)dtF(x)=∫(x,x+1)f(u)du=∫(0,x+1)f(u)du-∫(0,x)f(u)duF′(x)=f(x+1)-f(x)

设k为整数∫[kT,(k+1)T]f(x)dx=∫[kT,(k+1)T]f(x-kT)dx=∫[0,T]f(x)dx所以∫[0,nT]f(x)dx=∫[0,T]f(x)dx+∫[T,2T]f(x)dx

f(-x)=1-(-x)^2/cos(-x)=1-x^2/cosx=f(x)所以得证

你用反证法,假设f'(x)总不为0,由于f在[0,3]连续,（0,3）可导不妨设f'(x)>0于是f(0)>f(1)>f(2)>f(3)=1,f(0)+f(1)+f(2)>3,与假设矛盾,设f'(x)

当F(X)为奇函数时,F(X+4T)=F(T+(3T+X))=F(T-(3T+X))=F(-2T-X)=-F(X+2T)=-F(2T+X)=-F(T+(T+X))=-F(T-(T+X))=-F(-X)

∫因为：∫f(t)dt【t=0→x】=1-cosx所以：∫f(t)dt=C-cost因此：∫f(x)dx【x=0→π】=C-cosx【x=0→π】=(C-cosπ)-(C-cos0)=(C+1)-(C

不能.如f(x)=2^x,对任意正常数T,满足2^(x+T)>2^x,但f(x)=2^x不是周期函数.

∵f(x)在[0,1]上连续而且可导,∴又积分中值定理得：根据题设有： 做辅助函数,,由上式得：F(1)=F(α),由题设可知,函数F(x)在[α,1]上连续,在(α,1)内可导,而且F(1

方法：利用给出的等式条件,对等式某一边连续运用两次,即可证出.举例如下：f(x+2)=-f(x)＝－[-f(x－2）]＝f(x-2)两个括号中的变量相差4,而函数值相等,因此周期为4.其他题目证明类似

T/2=π代入f(x+T/2)=sin（x+π）由诱导公式得sin（x+π）=-sinx=-f(x)得证

这个题目似乎有点问题举个反例令f(x)=x+1[a,b]=[1,2]显然f（x)在[a,b]上连续且恒大于0F(x)=x^2/2+x-1+ln(x+1)F'(x)=x+1+1/(x+1)>0F(a)=