搜搜做题作业网设数列{Xn}有界,又limyn=0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/08 12:08:20
证明：因为数列{xn}有界,所以存在常数M,对任意n,都有|xn|N时,恒有|yn|
|xn|≤M-Myn≤xn.yn≤Myn-Mlim(n->∞)yn≤lim(n->∞)xn.yn≤Mlim(n->∞)yn0≤lim(n->∞)xn.yn≤0=>lim(n->∞)xn.yn=0
limX=aa的绝对值数列{Xn}有界,所以limYn=0,limYn=0则limXnYn=0
首先,由X1=a>0及Xn+1=1/2(Xn+1/Xn),得所有Xn>0(n为自然数).（由这个公式,可知Xn+1与Xn符合相同,而X1大于0,因此所有{Xn}中元素均大于0.这个是利用下面不等式的基
存在正常数M,使得一切xn满足｜xn｜
证明：设存在一个正数M>0,使得一切n,都能得到Xn≦M,limXnYn((n→∞)=MlimYn((n→∞)=M*0=0
数列Xn有界,即!Xn!0,总有N>0使得当n>N时!Yn-0!0,总有N>0使得当n>N时!XnYn-0!
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用定义证明即可,因为数列{Xn}有界所以存在常数C》0,使得|Xn|N时,|Yn|N的时候|XnYn|=|Xn||Yn|
证明XnYn的极限是0吧?参见“无穷小与有界函数的乘积是无穷小”的证明
如果存在M>0,对任意的n都有：|xn|≤M,称数列{xn}有界.所以lim(n->正无穷)Xn=M故lim(n->正无穷)XnYn=[lim(n->正无穷)Xn]*[lim(n->正无穷)Yn]=M
用极限的定义,Xn有界,则存在M使得Xn的绝对值
数列Xn有界,即!Xn!0,总有N>0使得当n>N时!Yn-0!0,总有N>0使得当n>N时!XnYn-0!
因为limyn=0所以对任意的ε1>0,存在N1,使n>N1时,有|yn|N时,有|xnyn|=|xn|*|yn|
因为{xn}有界,则存在M>0,有|xn|0,存在N>0,当n>N,有|yn-0|0,当n>N,有|xn*yn-0|
（Xn）有界,所以存在正数M使得0≤|Xn|≤M,所以0≤|XnYn|≤M|Yn|右边的极限是0根据夹逼原则,lim|XnYn|=0所以limXnYn=0.也可以用定义证明.有疑问请追问,满意请选为满
因为{Xn}有界,不妨设limXn在x趋于无穷大时,limXn小于等于M,然后有LimXnYn小于等于M*LimYn=0,所以有LimXnYn=0
因为数列{X}有界,所以设绝对值X